大規模行列方程式に対する反復解法のためのテンソル構造保存型前処理の開発

Research Project

Project/Area Number	21J15734
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Single-year Grants
Section	国内
Review Section	Basic Section 60100:Computational science-related
Research Institution	Nagoya University
Principal Investigator	佐竹祐樹名古屋大学, 工学研究科, 特別研究員(DC2)
Project Period (FY)	2021-04-28 – 2023-03-31
Project Status	Completed (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥1,500,000 (Direct Cost: ¥1,500,000) Fiscal Year 2022: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000) Fiscal Year 2021: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Keywords	行列方程式 / 数値線形代数 / 反復法 / 前処理 / 数値解析
Outline of Research at the Start	行列方程式は振動解析など多くの工学分野に現れ，その求解は重要な課題の１つである．大規模な行列方程式の既存数値解法として，Krylov部分空間法をはじめとした多くの連立１次方程式に対する反復法が応用されている．しかし，反復法に対して既存の前処理を適用した場合，行列方程式の持つ特殊な構造（テンソル構造）が崩れてしまい，所要メモリが増大してしまうという問題点がある．本研究では，テンソル構造を保存するような前処理の開発を行うことで，大規模行列方程式に対する実用的数値解法の構築を目指す．
Outline of Annual Research Achievements	本研究では，振動解析や制御理論などの工学分野に現れる行列方程式を考える．大規模な行列方程式の既存数値解法として，Krylov部分空間法をはじめとした多くの連立1次方程式に対する反復法が応用されている．連立1次方程式のためのKrylov部分空間法に対しては，計算を高速化するために前処理を適用して用いることが一般的である．しかし，行列方程式のためのKrylov部分空間法に対して既存の前処理を適用した場合，行列方程式の持つ特殊な構造(テンソル構造)が崩れてしまい，前処理がない場合と比べて所要メモリが増大してしまうという問題点がある．本研究では，テンソル構造を保存するような前処理の開発を行うことで，大規模行列方程式に対する実用的数値解法の構築を目指す．本年度では，行列方程式の一種である一般化Sylvester方程式に対してテンソル構造保存型前処理の構築を行った．昨年度と同様，近似逆行列前処理を応用し，前処理行列にテンソル構造を与えることで，テンソル構造を保存するような前処理の構築を行った．前処理行列に対するテンソル構造の与え方には自由度があるため，いくつかの与え方を検討し，それぞれ前処理行列を生成した．生成したテンソル構造保存型前処理をKrylov部分空間法（Bi-CG法，Bi-CGSTAB法，GPBi-CG法など）に適用した結果，いくつかの数値例で計算の高速化を確認した．また，前処理がない場合に収束しない数値例で，テンソル構造保存型前処理によって収束する例も見られた．
Research Progress Status	令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
Strategy for Future Research Activity	令和4年度が最終年度であるため、記入しない。