Formal Pade approximation toward the period conjecture observing period integral via differential algebra
| Project/Area Number |
21K03171
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
平田 典子 (河野典子) 日本大学, 理工学部, 特任教授 (90215195)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | パデ近似 / O-minimality / ディオファントス近似 / 超幾何関数 / 単数方程式 / 多重対数関数 / 超越近似 / 線形回帰数列 / Hermite-Pade近似 / 多重対数 / Lerch関数 / Riemann zeta関数 / 一次独立性 / 無理数性 / 超幾何級数 / 無理数 / 周期積分 / 周期予想 / リーマンゼータ関数 / 超越数 |
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| Outline of Research at the Start |
円周率は周期であり，-1という数を逆周期写像に相当する対数関数で引き戻した逆像の元から作られる数である．これは，exp(iπ)=-1であるということに由来する積分表示を円周率が持つことを意味する．一方，指数関数exp(z)には，性質の良い級数表示が備わっている．円周率の性質が良くわかる理由は，この周期が積分表示とFormalな級数表示の二つの顔を持つからである．本研究ではこれらを踏まえた周期の統合的表示を考察することを実施し，周期予想の解明に着手する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
2023年度には研究代表者が受け入れたJSPSポスドクAnthony Poels氏（母国に帰国してLyon第1大学数学研究所に准教授として就職）との共同研究討議をzoomで継続して論文を出版した．べき乗関数のパデ近似から得られた漸化式を適用した手法で，線形回帰数列におけるPoincare-Perron の定理及びMahler測度の性質を活用し，2変数の単数方程式の解の個数の評価を40年ぶりに改良した内容である．さらに一般化した有限生成アーベル群の上での単数方程式の解の評価に関するパデ近似の応用をAnthony Poels氏，川島誠氏（明治学院大学に異動）と引き続き共同研究し，証明をまとめた．また，Indian Statistical Institute(インド，ニューデリー)若手教授であるShanta Laishram氏を2023年度に対面で招聘した際に議論を交わした内容の共同研究「異なる小数展開をもつ整数の桁数の和に関するEffectiveな評価」について，京都大学数理解析研究所での研究集会（公開型）における講演，及び論文執筆を行った．この講演内容の論文はまもなく投稿予定である．さらにWeizmann Institute of Science(イスラエル)のGal Binyamini氏を8月に対面にて招聘して討議を行った際に，研究課題に深く関連する超越近似及び代数的独立性の手法を，O-minimality の枠組みでの予想の解決に使えることを発見できた．こちらは現在も議論継続中であるが，予想外の思わぬ進展がみられた．加えて超幾何級数のZ型と呼ばれる場合について，代数的数における任意次数の代数体上での一次独立性の判定基準を証明した．こちらは抽象的パデ近似を応用したものであるが，Sinnou David氏（フランス，Sorbonne 大学），川島誠氏との継続中の共同研究内容であり，アーカイブに投稿済である．その前段階である多重対数の値についての研究成果はRecent Developments on Polylogarithms and Period Conjectureという題目で論文の査読通過，現在印刷中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究代表者がこの研究費で進められた抽象的パデ近似の理論とその周辺のディオファントス近似が，思わぬ形で有用であることがわかったことが主要な理由である．また，イスラエル，インドの2カ国から若手2名の研究者を対面で招聘して，１週間程度の議論を交わすことができたことも鍵となった．特にイスラエルのGal Binyamini 氏との研究討議は有用であり，現在もzoomで継続中であるが，最初に対面で開始して討議における論点と課題を正確に共有できていたことが，共同研究開始に到るために本質的であった．また，研究代表者が組織委員を務める2024年3月の国際研究集会 Diophantine Analysis and Related Fields 2024の開催も本研究費を用いて対面実施できたが，これもGal Binyamini 氏との共同研究の新たな進展の良いきっかけになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずはO-minimalityの枠組みにおけるGal Binyamini氏(Weizmann Institute of Science, イスラエル)との共同研究に用いる，現時点で考えている低い超越次数の評価の活用に関するさらに有効な超越近似とパデ近似の構築を目指す．構想の鍵となる補題は既に証明済であって，O-minimalityの範疇での問題に適用できる形にすることが，今後の課題である．また，Sinnou David氏(Sorbonne 大学）との討議も川島氏と共にzoomで継続中であり，超幾何級数の特殊値に関する極めて一般的な一次独立性及び，無理数性の証明にさらに拡張できることがわかったため，現在鋭意推進中である．
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Report
(3 results)
Research Products
(33 results)
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[Presentation] Visual Pade Approximation for the Riemann zeta values at odd integers2022
Author(s)
杉本和希, 室井龍二, 山崎敬太, 鷲尾勇介, 川島誠, 鷲尾夕紀子, 鈴木潔光, 利根川聡, 平田典子
Organizer
RIMS, workshop, Kyoto University
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Int'l Joint Research / Invited
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