負の正則断面曲率をもつ複素多様体の代数幾何学的構造の研究

• Project/Area Number: 21K13784
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: International Professional University of Technology in Tokyo (2023); The University of Tokyo (2021-2022)
• Principal Investigator: 野村 亮介 東京国際工科専門職大学, 工科学部, 助教 (40858643)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
• Keywords: 複素幾何学 / 正則断面曲率 / ケーラー多様体 / 幾何学 / 代数幾何学

Outline of Research at the Start

複素微分幾何学は、複素多様体の計量・曲率を用いてその幾何学的性質を調べる分野である。さまざまな曲率の中でも、本研究では正則断面曲率に注目し、この曲率が負の複素多様体について研究を行う。研究において、ケーラー・リッチフローと呼ばれる、計量の時間発展型偏微分方程式を用いるとともに、その性質を解析する。

Outline of Annual Research Achievements

リッチ流は、1980年代にリチャード・ハミルトンが導入したものである。このリッチ流は、リーマン多様体の計量の時間発展を記述する偏微分方程式でリッチ曲率により、リーマン計量の時間変化させるものである。そして、ケーラー・リッチ流はケーラーアインシュタイン計量の研究との関係や、代数多様体の分類理論である極小モデル理論との関係があり、重要な研究対象である。
近年では、ハイン・リー・トサッティらが、標準束が半豊富をあるコンパクトケーラー多様体におけるケーラー・リッチ流が、飯高ファイブレーションの像における標準計量に収束することを示した。さらに、ケーラー・リッチ流の時間発展が、特異ファイバーから離れた部分で滑らかかつ有界なリッチ曲率をもつ。これは、ソンとティアンの予想を解決するものである。
この研究を踏まえ、エントロピーやグリーン関数を用いた評価を組み合わせることで、正則断面曲率が負のコンパクトケーラー多様体の解析に応用することを考察した。また、直径評価に関する考察を深めた。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

所属が変わったことに伴う環境の変化に対応することに時間を取られたため。

Strategy for Future Research Activity

ハイン・リー・トサッティらによる解析が複雑であるため、他の状況に応用するために深い理解が必要である。