マルコフ半群に付随する分数べき積分作用素とマルティンゲール理論

Research Project

Project/Area Number	22K03338
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research Institution	Osaka Kyoiku University
Principal Investigator	貞末岳大阪教育大学, 教育学部, 教授 (40324884)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Keywords	マルコフ半群 / マルティンゲール
Outline of Research at the Start	マルコフ半群に対する実解析・調和解析的研究は古くから行われており、現在も活発に研究されているが、実解析・調和解析的には基本的な問題である分数べき積分作用素や Orlicz 空間・Morrey 空間などの研究は、マルコフ半群という枠組みでは系統的に行われていない。そこで、本研究では「マルコフ半群に付随する一般化分数べき積分作用素」、「マルコフ半群に付随する Morrey 空間」、「マルコフ半群に関する交換子」の３つに焦点を絞って研究を行う。
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的は、マルコフ半群に基づく実解析的・調和解析的な基礎理論を構築すること、特に付随する分数べき積分作用素や Morrey 空間を、マルティンゲール理論等を用いて研究することである。そして前年度までで、マルコフ半群に付随する分数べき積分作用素を一般化し、標準的な条件の下で Orlicz 空間での有界性を示し、さらに確率微分方程式を用いることにより、この条件が Heisenberg 群では必要十分となることを示した。また、均質距離空間での一般化分数べき積分作用素に関する拡張も合わせて定理としてまとめ、論文として発表している。当該年度ではマルティンゲールに対する Morrey 空間の定義を与え、その前双対空間をブロック空間として構成し、またマルティンゲール最大作用素やマルティンゲール分数べき積分作用素の有界性を得た。そしてマルコフ半群に付随する Morrey 空間の定義を与え、マルコフ半群に付随する最大作用素の Morrey 空間での有界性や、ピン止め型条件付き期待値のマルティンゲールMorrey 空間からマルコフ半群に付随する Morrey 空間への有界性を考察した。この有界性はマルコフ半群に付随する Morrey 空間の前双対空間とマルティンゲールMorrey 空間の前双対空間との対応が示せればよく、熱核に関する一定の条件下での有界性を、マルティンゲールとマルコフ半群との対応という視点から示すことができた。しかしこの条件は先行研究が用いているものより強いようだったため、条件の緩和を試みたが、適切な拡張の方向が見いだせず、当該年度での発表には至らなかった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 当初の計画ではマルティンゲールに対する Morrey 空間とマルコフ半群に付随する Morrey 空間の対応を、先行研究の条件を超えた形で見出す予定であったが計画通りに進まなかった。また予定していたマルコフ半群に付随する Campanato 空間の基本性質を示すことができていない。
Strategy for Future Research Activity	マルティンゲールに対する Morrey 空間とマルコフ半群に付随する Morrey 空間の対応の研究を継続し、先行研究の条件を緩和する。また分数べき積分作用素に関して重み付き不等式を考察する。このさい茨城大学の中井教授などの助言を求める。