パンルヴェ方程式を中心とした可積分系の研究

Research Project

Project/Area Number	22K03348
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	坂井秀隆東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50323465)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000) Fiscal Year 2024: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000) Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000) Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Keywords	パンルヴェ方程式 / 差分方程式 / 特殊函数 / 超幾何函数
Outline of Research at the Start	本研究課題では，主に次の3つの問題に取り組む： a. パンルヴェ方程式のCFT解と呼ばれる一般的表示をもつ超越解の解析， b. 線型q差分方程式の分類理論， c. 4次元離散可積分系の研究．ここで，a, b については，前年度までの成果をそれぞれさらに先に進めたいということである．a は，パンルヴェ超越函数に関係する4 階斉次2 次微分方程式の特徴づけなど，b は，積分変換の拡張や，ルート系，モジュライ空間の箙多様体との関係などを調べたいと思っている．c に関しては，4次元複素代数多様体論による4次元パンルヴェ型離散力学系の一般理論構築に向けた前段階として，具体例の計算を考えている．
Outline of Annual Research Achievements	4次元離散力学系の具体例の計算について，研究の進展があった．まだ，論文にまとめられる段階にないが，区切りの良いところまでの結果が得られたところで発表したいと考えている．これは青山学院大学の川上拓志氏との共同研究である．この内容について報告する．ここで扱われる力学系は，川上氏によって提案されたq行列第6パンルヴェ方程式である．行列第6パンルヴェ方程式は，4次元のパンルヴェ型方程式を分類する過程で，川上・中村・坂井によって構成された正準方程式系で，ハミルトニアンが，古典的に知られたパンルヴェ第6方程式のハミルトン函数の正準変数を行列変数で置き換えてトレースをとった形をしている．今回扱っているのはそのq類似である．川上氏は，この離散力学系を，線型q差分方程式のコネクション保存変形の理論から構成した．今回の共同研究では，さらに詳しく，シンプレクティック構造や自励極限における可積分系の研究，特に保存量の計算などを行なっている．今後は，さらにスペクトル曲線を使った幾何学的な理論まで，研究を進められたらいいと思っている． 4次元の離散力学系としては，離散パンルヴェ方程式の仲間として，qガルニエ系なども知られている．この具体例を通して開発された方法を，もう少し広い高次元離散力学系の研究に使っていきたい．そのほか，線型q差分方程式の積分変換に関する理論についてや，斉次2次微分方程式の特徴づけについてなど，考察を続けている.
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 少しづつではあるが，計算も進んできている.このまま続けて目標としている結果にたどり着けると考えている.
Strategy for Future Research Activity	この研究課題において挙げてきた，具体的な目標である，線型q差分方程式の変換理論，分類理論，およびパンルヴェ系の拡張である4次元離散力学系の具体例の計算について，研究を続けていこうと思う.