固有値の高速高精度数値計算手法の開発とその数理モデリングへの応用

• Project/Area Number: 22K03422
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
• Research Institution: Hosei University
• Principal Investigator: 相島 健助 法政大学, 情報科学部, 教授 (40609658)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
• Keywords: 数値線形代数

Outline of Research at the Start

現代理工学および情報社会において，計算基盤の確立に向け固有値問題の数値解法は非常に重要である．固有値計算では行列分解アプローチと射影の２つが基盤である．これに基づき，本研究では，固有値計算技術の数理構造を軸に多種多様な問題を整理することで，固有値問題に関する高速かつ高精度な数値計算アルゴリズムの設計と収束理論の構築，および応用分野における固有値問題に関する数値計算へ帰着する，ある種の数理モデリングの技術を開発する．

Outline of Annual Research Achievements

説明変数が誤差を含む線形回帰モデルに対する収束理論の拡張を行った．具体的には，いくつかの制約を課した場合の回帰モデルの推定量の一致性を証明した．従来の線形回帰モデルに対しては，（全）最小二乗法による推定量が一致性を有することは知られていたが，この回帰モデルに変数の制約や行列ランクに関する制約を課した場合の統計的な漸近論は明らかにされないままであった．本研究では，行列の固有値の数値計算に用いられる射影法の特徴に着目し，上記の制約付きのモデルに対する一致推定量を構成し，実際に一致性を数学的に証明した．本研究は国際会議で発表し，論文にまとめている．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究は固有値計算アルゴリズムを軸に数理モデルに対する解析を目的にしている．確率的な誤差を含むモデルに対して一致推定量を構成し，一致性の厳密な証明を与えたことで，順調に目的達成に向かっていると言える．

Strategy for Future Research Activity

線形回帰モデルと固有値計算のための射影法は，統計学と数値解析学において基本となる重要なものである．その両者の関係に着目し数学的に重要な成果をあげたことで，今後はより現代的なモデルや計算技術に対しても，重要な数学的性質を明らかにできる可能性が生じ，今後はその方向性で研究を進めることになる．

Research Products

• [Journal Article] Consistent estimation with the use of orthogonal projections for a linear regression model with errors in the variables (2024)
  • Author(s): Aishima Kensuke
  • Journal Title: Linear Algebra and its Applications Volume: 684 Pages: 101-126
  • DOI: 10.1016/j.laa.2023.12.015
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Strong consistency of the projected total least squares dynamic mode decomposition for datasets with random noise (2022)
  • Author(s): Kensuke Aishima
  • Journal Title: Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics Volume: 40 Issue: 1 Pages: 691-707
  • DOI: 10.1007/s13160-022-00547-6
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] パラメータ空間に関する制約付きの線形回帰モデルに対する一致推定量 (2023)
  • Author(s): 相島健助
  • Organizer: 2023年並列／分散／協調処理に関するサマー・ワークショップ (SWoPP2023)
• [Presentation] Design of an estimator with orthogonal projections for a linear regression model and its strong consistency (2023)
  • Author(s): Kensuke Aishima
  • Organizer: ILAS2023
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Consistent Estimation Using SVD for a Linear Regression Model (2023)
  • Author(s): Kensuke Aishima
  • Organizer: ICIAM2023
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] ある線形回帰モデルに対して特異値分解を用いて計算する推定量の一致性について (2022)
  • Author(s): 相島健助
  • Organizer: 2022年並列／分散／協調処理に関するサマー・ワークショップ (SWoPP2022)
• [Presentation] 制約付きの線形回帰モデルに対する推定量の一致性について (2022)
  • Author(s): 相島健助
  • Organizer: 日本応用数理学会2022年度年会
• [Presentation] 数値線形代数と線形回帰分析 (2022)
  • Author(s): 相島健助
  • Organizer: RIMS共同研究 (公開型) 数値解析が拓く次世代情報社会～エッジから富岳まで～
  • Invited
• [Remarks]
  • URL: https://aishima.cis.k.hosei.ac.jp/research.html