| Project/Area Number |
22K13900
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Toho University (2024)
Tokyo University of Science (2022-2023) |
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Principal Investigator |
武田 渉 東邦大学, 理学部, 講師 (20897326)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | Brocard-Ramanujan問題 / 素イデアル分布 / Ramanujan和 / 関数体 / 指数和 / Ramanujan-Nagell方程式 / Schur多重ゼータ値 / Plucker関係式 / Desnanot-Jacobi公式 / Suranyi-Hickerson予想 / 素数表現定数 / 超越数 / 代数的独立性 / Schur多重ゼータ関数 / Pieri公式 / 素数表現関数 / Manin予想 |
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| Outline of Research at the Start |
ディオファントス問題とは方程式の整数解や有理数解を求めるものであり, これまで様々な手法や道具を用いることで多くの研究成果が得られている研究課題である. 本研究ではBrocard-Ramanujan問題やManin予想といった未解決問題に対して, これまでの整数論的手法に組合せ論的手法を新たに融合させて研究を行う. 具体的には, 各方程式に対して解の個数の数え上げを組合せ的および代数的に行い, その個数の漸近式を解析的に与える.
また, 上記研究と並行して, 組合せ論的構造を持つSchur多重ゼータ関数やその類似関数の性質に関する研究も行い, 整数論と組合せ論の橋渡しを行うことを目指す.
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度も継続してBrocard-Ramanujan問題について取り組んだ. これまでの研究との大きな違いとして, 正標数の関数体においてこの問題を考えたことである. 関数体にはCarlitz階乗と呼ばれる階乗の一般化があるため, Brocard-Ramanujan問題をはじめとした階乗を含むディオファントス方程式の問題を関数体でも考えられると考えたことがきっかけである. 問題の定式化はいろいろとあるものの本年度得られた成果として, もとの問題の階乗部分をCarlitz階乗に書き換え, 平方数(多項式の平方)とCarlitz階乗の差が1となる方程式に解がどのように分布するか完全に解決をした. 使用した手法は多項式の形式微分であり, Carlitz階乗の形式微分について調べることで結果を得た.
またこれまで考えていたノルム形式に関するBrocard-Ramanujan問題も, 円分体について完全に解を特定した. これは前年度に解が多く出る場合を具体的に構成したため, それの継続であり, 今後の研究をする上での基本的なものであった. 特に解のない代数体を無限個存在することを示した最初の成果である.
別の問題として, 木内功氏(山口大学)と共同でRamanujan和のVon Mangoldt関数類次の平均評価に関する研究も進めた. 具体的には, 指数和の評価やリーマンゼータ関数とVon Mangoldt関数の関係などを用いて, 解析的に計算を行い, 平均と二乗平均に関して主要項と誤差項を具体的に求めた. この論文はResults in Mathematicsに掲載された.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
予定通り, ノルム形式に対するBrocard-Ramanujan問題の解の完全決定が円分体の場合でできているため, おおむね順調であるといえる.
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度も引き続きノルム形式Brocard-Ramanujan問題に取り組む.
これまでの研究で円分体については完全解決しているため, 今後はAbel拡大体のノルム形式について考える. 今のところ, ある種の大きな拡大体に対しては
いくつかの結果を得ているため, それを精密化することを目指す.
また, 関数体のBrocard-Ramanujan問題についても, これまで研究されていることはほとんどないため, より深い結果を目指す.
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