Visualizing twists in data through monodromy

• Project/Area Number: 22K18267
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 櫻井 大督 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (50772547) ; 山本 卓宏 東京学芸大学, 教育学部, 教授 (60435972)
• Project Period (FY): 2022-06-30 – 2028-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥26,000,000 (Direct Cost: ¥20,000,000、Indirect Cost: ¥6,000,000); Fiscal Year 2027: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2026: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2025: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2024: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2023: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2022: ¥5,200,000 (Direct Cost: ¥4,000,000、Indirect Cost: ¥1,200,000)
• Keywords: Reeb空間 / Reebグラフ / Reeb complement / 多重次元Reebグラフ / 特異点消去 / 区分的線形写像 / round fold map / モノドロミー / モース関数 / 境界付き曲面 / 微分トポロジー / データ可視化 / ねじれ / Reeb図式

Outline of Research at the Start

本研究では，微分トポロジー，特に特異点論とモノドロミーを用いてデータ可視化の革新的新手法の確立を目指す．具体的には，ファイバーの連結成分を記述するReeb空間を0次元ホモロジー群の図式で再解釈し，それを拡張して一般の位相不変量を考えることで，Reeb図式の概念を定式化し，データの大域構造を記述する理論的基盤を構築する．さらにデータのねじれをモノドロミーとして可視化する新手法を，情報科学者との協働により開発し，実装する．これにより，データが欠損していても可視化が可能となるなどの特性を備えたデータ可視化の革新的技法を確立して，諸科学分野での新たな発見を導く．

Outline of Annual Research Achievements

佐伯は、コンパクト多様体上の可微分関数が与えられたとき、そのReeb空間が有限グラフの構造を持つための必要十分条件を、レベル集合の各連結成分がその近傍をどのように切断するかという観点から、与えることに成功した。ここでReeb空間とは、レベル集合の連結成分全体のなす空間である。これまで多くの場合にグラフ構造を持つことは知られていたが、その特徴づけを得られた意義は大きい。これにより、データ可視化へReeb graphが活用できるための条件が厳密に決定できたことになり、こうした結果を得られた意義は大きい。さらに、3 次元多様体上に2つの実数値関数が与えられたとき、それらのレベル集合の位置関係を記述する際の基礎となる概念としてReeb complementという数学的対象を分担者の櫻井らとともに初めて定義し、具体的なデータに対してそれを求めるアルゴリズムを開発する研究に着手した。また、3次元多様体上に2つの区分的線形写像が平面への写像として与えられたとき、そのReeb空間を、多重次元Reebグラフを用いて求めることができることを数学的に証明し、与えられたデータに対してそれを求めるアルゴリズムを開発することに着手した。
また、分担者の山本は、境界付きコンパクト曲面から平面への可微分写像でジェネリックなものを考察し、その境界に現れる特殊な特異点の消去について成果を得た。実データの解析や可視化の際には、データが与えられるドメインはコンパクトで境界付きの多様体となることが想定されるため、こうした結果は、そうしたデータの位相的振る舞いを記述する際に重要な役割を果たすことが期待される。
また、分担者の櫻井は、区分的線形写像を可視化するための実装に取り掛かり、具体的な可微分写像について、それを区分的線形写像として実現した際の可視化について、実装の諸段階を完了させた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究では、データを多様体間の可微分写像の離散サンプルであると考え、微分トポロジー、特に特異点論とモノドロミーを用いてデータ可視化の革新的新手法の確立を目指すことが目的である。これまで、特異ファイバーの分類に基づいたデータ可視化手法が開発されてきているが、データの大域構造、特にそのねじれは可視化できていない。そこで本年度は、モノドロミーが重要な役割を果たすことが期待される状況でも、Reeb空間やReebグラフといった既知の概念が活用できれば、そうした手法がより活用しやすくなるため、そのための条件について研究した。特に、Reeb空間がグラフ構造を持つための必要十分条件が決定できたことは、本研究が順調に進んでいることを意味する。我々はさらにこうした結果を用いて、データのねじれをモノドロミーとして可視化する新手法を、情報科学者との協働により開発し、ユーザーインターフェースとして実装することも目指しているが、本年度は櫻井がそうした実装に着手すべく、そのためのアルゴリズム的観点からの第一段階を構築できた。以上のことから、本研究課題はおおむね順調に進展していると言える。

Strategy for Future Research Activity

今後は令和4年度に研究したround fold mapだけではなく、モノドロミーが重要な役割を果たす可微分写像の研究を進め、そうした写像の不変量を、Reeb空間やReebグラフも活用しつつ、探していく。それにより、より複雑な写像に対しても、モノドロミーの可視化が実行できることが期待される。また当初の計画では、ファイバーの連結成分を記述するReeb空間を0次元ホモロジー群の図式で再解釈し、それを拡張して一般次元のホモロジー群などの位相不変量を考えることで、Reeb図式の概念を定式化することも目標としてきた。今後はこの方面での研究を推進していく必要がある。これにより、写像の大域構造を記述する理論的基盤を構築することが目的である。こうした新概念は特異写像の研究において画期的なもので、多様体の新しい不変量の開発や、力学系などの他分野への応用も期待される。そこでこうした方面での研究を引き続き推進する。そのため、既存の特異ファイバーの分類によってReeb空間の局所構造を再確認し、それらの大域的つながり具合を定式化すべく、ホモロジーの自己同型写像のなす群、あるいは写像類群を有効に用いて研究を推進してゆく。

Research Products

• [Int'l Joint Research] ワルシャワ工科大学(ポーランド)
• [Int'l Joint Research] サンパウロ大学(ブラジル)
• [Int'l Joint Research] マルセーユ大学(フランス)
• [Int'l Joint Research] Leeds大学(英国)
• [Int'l Joint Research] 情報技術国際研究所(インド)
• [Int'l Joint Research]
• [Int'l Joint Research] Leeds大学(英国)
• [Journal Article] Reeb spaces of smooth functions on manifolds II (2024)
  • Author(s): Saeki Osamu
  • Journal Title: Research in the Mathematical Sciences Volume: 11 Issue: 2
  • DOI: 10.1007/s40687-024-00436-z
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Elimination of B_2 singularities I (2024)
  • Author(s): Takahiro Yamamoto
  • Journal Title: Research in the Mathematical Sciences Volume: －
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Special generic maps and Gromoll filtration (2023)
  • Author(s): Saeki Osamu
  • Journal Title: Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences Volume: 2023 Issue: 2 Pages: 1260-1268
  • DOI: 10.1007/s40863-023-00369-5
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Round fold maps on 3-manifolds (2023)
  • Author(s): Kitazawa Naoki、Saeki Osamu
  • Journal Title: Algebraic & Geometric Topology Volume: 23 Issue: 8 Pages: 3745-3762
  • DOI: 10.2140/agt.2023.23.3745
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] GeneLive! Generating Rhythm Actions in Love Live! (2023)
  • Author(s): Takada, A., Yamazaki, D., Yoshida, Y., Ganbat, N., Shimotomai, T., Hamada, N., Liu, L., Yamamoto, T., & Sakurai, D.
  • Journal Title: B. Williams, Y. Chen, & J. Neville (Eds.), AAAI-23 Technical Tracks 4 (Proceedings of the 37th AAAI Conference on Artificial Intelligence, AAAI 2023; Vol. 37). AAAI Press Volume: 37 Pages: 5266-5275
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Round fold maps of n-dimensional manifolds into (n-1)-dimensional Euclidean space (2023)
  • Author(s): Kitazawa Naoki、Saeki Osamu
  • Journal Title: Journal of Singularities Volume: 26 Pages: 1-12
  • DOI: 10.5427/jsing.2023.26a
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Topology of Stable Maps of Surfaces with Boundary into the Plane (2022)
  • Author(s): Yamamoto Takahiro
  • Journal Title: Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series Volume: 53 Issue: 4 Pages: 1291-1304
  • DOI: 10.1007/s00574-022-00304-w
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Understanding Changes in STRIPS Using Reeb Graph Simplification (2024)
  • Author(s): Sicheng Luo
  • Organizer: The 4th POSTECH MINDS Workshop on Topological Data Analysis And Machine Learning
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Viewing manifolds through singularities (2023)
  • Author(s): Osamu Saeki
  • Organizer: おいでMath談話会 (Online)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Generalization of Reeb spaces and application to data visualization (2023)
  • Author(s): Osamu Saeki
  • Organizer: WORKSHOP on Mathematics for Industry, Basis of Mathematics in nanomedicine structures and life sensing, Warsaw
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Special generic maps and Gromoll filtration (2023)
  • Author(s): Osamu Saeki
  • Organizer: Workshop on Algebraic Topology and Applications, online, ICMC, USP, Brazil
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Reeb spaces of smooth functions on manifolds (2023)
  • Author(s): Osamu Saeki
  • Organizer: 7th International Workshop on Singularities in Geometry and applications, Valencia VII，Universidade Federal do Ceara, Departamento de Matematica, Brazil
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 微分トポロジーを用いたデータの可視化 (2023)
  • Author(s): 佐伯修
  • Organizer: 数理工学センター（MCME）セミナー, 武蔵野大学有明キャンパス４号館303教室，ハイブリッド開催
  • Invited
• [Presentation] トポロジーを用いてデータ構造を可視化する (2023)
  • Author(s): 佐伯修
  • Organizer: 数学と脳科学の連携に向けたワークショップ，九州大学日本橋サテライト
  • Invited
• [Presentation] 空間内の放物線族が作る曲面について (2023)
  • Author(s): 山本卓宏
  • Organizer: 特異点論及びその周辺分野の深化と異分野への応用
• [Presentation] Surfaces formed by one-parapeter families of parabolas in R^3 (2023)
  • Author(s): Takahiro Yamamoto
  • Organizer: 特異点論の展開
• [Presentation] Differentiable maps on links of complex isolated singularities (2023)
  • Author(s): 佐伯修
  • Organizer: 可微分写像の特異点論とその応用
  • Invited
• [Presentation] Generalization of Reeb Spaces and Application to Data Visualization (2023)
  • Author(s): Osamu Saeki
  • Organizer: 2023 SIAM Conference on Computational Science and Engineering
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Round fold maps of n-dimensional manifolds into (n － 1)-dimensional Euclidean space (2023)
  • Author(s): Osamu Saeki
  • Organizer: Seminar at Heidelberg University
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Fiber singularities of continuous maps (2023)
  • Author(s): 山本卓宏
  • Organizer: 日本数学会2023年度年会
• [Presentation] Fiber singularities of continuous maps (2023)
  • Author(s): 山本卓宏
  • Organizer: Singularities of Differentiable Maps and its Applications
• [Presentation] 空間内の放物線族が作る曲面 (2023)
  • Author(s): 山本卓宏
  • Organizer: 可微分 写像の特異点論とその応用
• [Presentation] Topology of Reeb spaces of smooth functions on manifolds (2022)
  • Author(s): Osamu Saeki
  • Organizer: 17th International Workshop on Real and Complex Singularities
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] ジェネリックな可微分写像の大域的特異点論 (2022)
  • Author(s): 佐伯修
  • Organizer: 2022年度日本数学会秋季総合分科会、総合講演
  • Invited
• [Presentation] Special generic maps I, II, Singular fibers of generic maps I, II, Simplifying generic maps I, II (2022)
  • Author(s): Osamu Saeki
  • Organizer: Singularity theory and geometric topology，RIMS-Sing 2 Workshop
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Topology of stable maps of surfaces with boundary into the plane (2022)
  • Author(s): 山本卓宏
  • Organizer: 2022年度日本数学会秋季総合分科会
• [Presentation] Singular fibers of differetiable maps and its applications (2022)
  • Author(s): Takahiro Yamamoto
  • Organizer: 17th International Workshop on Real and Complex Singularities
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Volumetric Data as Maps and Their Topological Singularities (2022)
  • Author(s): Daisuke Sakurai
  • Organizer: The 15th MSJ-SI, MSJ-SI2022, Deepening and Evolution of Applied Singularity Theory
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Book] 2023度採択分 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用研究集会「WORKSHOP on Mathematics for Industry 2023--Basis of Mathematics in nanomedicine structures and life sensing」 (2024)
  • Author(s): Osamu Saeki, Wojciech Domitrz, Stanislaw Janeczko, Marcin Zubilewicz, Michal Zwierzynski
  • Total Pages: 363
  • Publisher: 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
• [Book] Proceedings of the Forum "Math-for-Industry" 2019 (2022)
  • Author(s): Robert McKibbin, Graeme Wake, Osamu Saeki
  • Total Pages: 157
  • Publisher: Springer Singapore
  • ISBN: 9789811911545
• [Book] 材料科学における幾何と代数III (2022)
  • Author(s): 松谷 茂樹，落合 啓之，井上 和俊，小磯 深幸，佐伯 修，白井 朋之，垂水 竜一，内藤 久資，中川 淳一，濵田 裕康，松江 要，加葉田 雄太朗
  • Total Pages: 362
  • Publisher: 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
• [Remarks] 佐伯研究室
  • URL: https://imi.kyushu-u.ac.jp/~saeki/index-j.html
• [Remarks] Saeki Laboratory
  • URL: https://imi.kyushu-u.ac.jp/~saeki/index.html
• [Funded Workshop] WORKSHOP on Mathematics for Industry，Basis of Mathematics in nanomedicine structures and life sensing, Warsaw (2023)
• [Funded Workshop] 15th MSJ-SI, Deepening and Evolution of Applied Singularity Theory (2022)