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高階幾何学的変分問題の研究と勾配流の漸近解析への応用

Research Project

Project/Area Number 22K20339
Research Category

Grant-in-Aid for Research Activity Start-up

Allocation TypeMulti-year Fund
Review Section 0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
Research InstitutionNagasaki University (2023)
Kyushu University (2022)

Principal Investigator

吉澤 研介  長崎大学, 教育学部, 准教授 (80965286)

Project Period (FY) 2022-08-31 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Keywords曲げエネルギー / p-曲げエネルギー / 変分問題 / 安定性 / 境界値問題 / 障害物問題 / 勾配流
Outline of Research at the Start

滑らかな平面曲線に対し、曲げエネルギーという量が曲率の二乗積分で定義される。曲げエネルギーの臨界点はピアノ線などの弾性体の形状を再現することが知られており、画像処理との関連も近年指摘されている。しかし、曲げエネルギーの臨界点の個数や、凸性・安定性といった定性的性質を調べることは汎函数の高階性等により一般に困難を伴う。本研究では、曲げエネルギーを一例とする高階幾何学的汎函数の変分問題の解の定性的性質を得ることを目的とする。さらに、得られた定性的性質を高階幾何学的汎函数の勾配流の時間大域挙動といった漸近解析へ応用する。

Outline of Annual Research Achievements

【1】三浦達哉氏(東京工業大学)との共同研究として、昨年度に引き続き p-elastica に対する研究を行った。ここで p-elastica とは、曲線長が固定された下での p-曲げエネルギーに対する臨界点のことをいう。昨年度の成果として、p が2以下の場合に両端点が固定された束縛条件の下で安定な p-elastica の一意性が得られていた。一方、p が2より大きい場合には、flat-core p-elastica と呼ばれる特殊な臨界点が存在するため、安定な臨界点の一意性は得られていなかった。本年度は主な成果として、エネルギー最小解ではないが安定な flat-core p-elastica が存在することを示した。特に、flat part と呼ばれる部分の位置関係により flat-core p-elastica の安定性が変わることが示された。これにより、安定な臨界点の一意性は p が2より大きいか小さいかで成立の可否が変わることを示し、この意味で非線形特有の現象を得ることに成功した。論文は現在査読中である。

【2】Marius Mueller 氏(Augsburg University)との共同研究として、平面曲線の枠組みにおける曲げエネルギーに対する障害物問題に取り組んだ。曲げエネルギーに対する障害物問題については、グラフ曲線の枠組みではエネルギー最小解の存在・非存在や凸性など様々な性質が得られていたが、平面曲線の枠組みにおいては「外的束縛をどのように取り込むか」という定式化の段階で困難点があった。本年度では、平面曲線に対する外的束縛の定式化を行うことに成功し、そこから正則性や障害物との一致集合に関する様々なエネルギー最小解の性質を得ることに成功した。論文は現在投稿準備中である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

p-elastica については、安定性の構造が p と2の大小関係により変わるなど研究計画を超える成果を得た。一方、勾配流の問題に対する着手は遅れているが、本年度に得られた臨界点の安定性構造は勾配流の時間大域挙動の足掛かりに繋がることが期待できる。以上の観点からおおむね順調であると結論してよいものと考える。

Strategy for Future Research Activity

補助事業期間を延長し、申請当初に着手予定であった勾配流に対する問題に加え、計画を超えて進展している p-elastica の安定性に対する研究にも取り組む。その一例として、境界条件が異なる場合での p-elastica の安定性について考察し、安定性に対する理解を深める研究を展開することを想定している。

Report

(2 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • Research Products

    (22 results)

All 2024 2023 Other

All Int'l Joint Research (2 results) Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (18 results) (of which Int'l Joint Research: 8 results,  Invited: 15 results)

  • [Int'l Joint Research] Augsburg University(ドイツ)

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] Leipzig University(ドイツ)

    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Journal Article] Complete classification of planar p-elasticae2024

    • Author(s)
      Miura Tatsuya、Yoshizawa Kensuke
    • Journal Title

      Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -)

      Volume: -

    • DOI

      10.1007/s10231-024-01445-z

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] General rigidity principles for stable and minimal elastic curves2024

    • Author(s)
      Miura Tatsuya、Yoshizawa Kensuke
    • Journal Title

      Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)

      Volume: 810 Issue: 0

    • DOI

      10.1515/crelle-2024-0018

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] On critical points of the p-bending energy2024

    • Author(s)
      吉澤研介
    • Organizer
      室蘭工業大学応用解析セミナー
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Complete classification of planar p-elasticae2023

    • Author(s)
      Tatsuya Miura, Kensuke Yoshizawa
    • Organizer
      Geometric Theory of Optimal Control
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 九州関数方程式セミナー2023

    • Author(s)
      吉澤研介
    • Organizer
      一般化曲げエネルギーに対する障害物問題
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Complete classification of planar p-elasticae2023

    • Author(s)
      Kensuke Yoshizawa
    • Organizer
      The 13th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A variational problem for the p-bending energy2023

    • Author(s)
      吉澤研介
    • Organizer
      熊本大学応用解析セミナー
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Complete classification of planar p-elasticae2023

    • Author(s)
      吉澤研介
    • Organizer
      第39回 さいたま数理解析セミナー
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      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] On critical points of the p-bending energy2023

    • Author(s)
      Kensuke Yoshizawa
    • Organizer
      2023 Korea-Japan Workshop on Nonlinear PDEs and Its Applications
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      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 一般化曲げエネルギーに対する障害物問題2023

    • Author(s)
      吉澤研介
    • Organizer
      北見工業大学における微分方程式セミナー
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    • Invited
  • [Presentation] An obstacle problem for the p-elastic energy2023

    • Author(s)
      Anna Dall'Acqua, Marius Mueller, 岡部真也, 吉澤研介
    • Organizer
      日本数学会 2023年度秋季総合分科会
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      2023 Research-status Report
  • [Presentation] Li-Yau type inequality for the p-bending energy2023

    • Author(s)
      Kensuke Yoshizawa
    • Organizer
      Geometric PDE and Applied Analysis Seminar (OIST)
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      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Pinned planar p-elasticae2023

    • Author(s)
      Kensuke Yoshizawa
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型)「常微分方程式の定性的理論の発展とその応用」
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Li-Yau type inequality for the p-bending energy2023

    • Author(s)
      Kensuke Yoshizawa
    • Organizer
      Workshop on Elliptic & Parabolic PDEs
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      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] An obstacle problem for the p-elastic energy2023

    • Author(s)
      吉澤研介
    • Organizer
      鳥取PDE研究集会2023
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      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] A remark on elastic graphs with the symmetric cone obstacle2023

    • Author(s)
      吉澤研介
    • Organizer
      九州関数方程式セミナー
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      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] An obstacle problem for the p-elastic energy2023

    • Author(s)
      吉澤研介
    • Organizer
      広島数理解析セミナー
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] The critical points of the elastic energy among curves pinned at endpoints2023

    • Author(s)
      Kensuke Yoshizawa
    • Organizer
      Forum Math for Industry 2022: Mathematics of Public Health and Sustainability
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Complete classification of planar p-elasticae2023

    • Author(s)
      Kensuke Yoshizawa
    • Organizer
      Oberseminar Analysis of the Institute of Pure Mathematics at Freiburg University
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Complete classification of planar p-elasticae2023

    • Author(s)
      三浦達哉、吉澤研介
    • Organizer
      日本数学会2023年度年会
    • Related Report
      2022 Research-status Report

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Published: 2022-09-01   Modified: 2024-12-25  

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