| Project/Area Number |
22KJ0719
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| Project/Area Number (Other) |
22J00221 (2022)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2023)
Single-year Grants (2022) |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
三宅 庸仁 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2023-03-08 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | 閾値型近似アルゴリズム / Canham-Helfrich 流 / 高階放物型方程式 / 本質的正値性 / 漸近解析 |
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| Outline of Research at the Start |
高階放物型方程式は、薄膜の結晶成長技術の一つであるエピタキシャル成長等の数理モデル、また、Willmore 流といった幾何学的発展方程式に現れる。偏微分方程式の型としては放物型に分類されるが、二階放物型方程式がもつ「正値保存性」という非常に有用な性質が失われることが知られており、これを一因として、二階の場合に対する数学的研究で培われた解析手法の中で高階にも適用可能な手法は限られる。
本研究では、正値保存性の有無といった相違点が現れるメカニズムについて既存の研究とは異なる観点から解析を行い、高階放物型方程式に対する新たな漸近解析手法の構築と上述の数理モデル・幾何学的発展方程式への応用を目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は, 幾何学的発展方程式や数理モデルの解析への応用を見据え, 高階放物型方程式に対する解析手法を構築することを目的としている. 上述の目的を達成するべく, 本年度は特に「4階線形放物型方程式を用いた, 高階幾何学的発展方程式に対する閾値型近似アルゴリズム」を取り扱った. ここで閾値型近似アルゴリズムとは, 時間発展する偏微分方程式の解の level set を用いて幾何学的発展方程式の近似解を構成するアルゴリズムである. 以下, 得られた成果について詳述する.
閾値型近似アルゴリズムを初めて提唱した Bence-Merriman-Osher (1992) では, 熱方程式を用いて平均曲率流の近似解を構成していた. 本研究では熱方程式の代わりに, ラプラシアンの摂動を加えた重調和熱方程式を用いることにより, ある高階幾何学的発展方程式の近似解を構築した. 上述の幾何学的発展方程式は一般次元に拡張した Canham-Helfrich 汎関数の勾配流と見做せる方程式である. 昨年度までの石井克幸氏 (神戸大学), 高坂良史氏 (神戸大学), 榊原航也氏 (金沢大学) との共同研究により, Taylar 展開を用いた閾値関数の導出等を行っており, 本年度は引き続き行った共同研究の結果を含め得られた成果をまとめ, 論文の投稿を行なった. また, 本研究で取り扱った閾値型近似アルゴリズムに対する変分的解釈について考察を行った. 具体的には, 今回使用した四階放物型方程式に対して定義される heat content の高次漸近展開を考察することにより, 今回得られた幾何学的発展方程式に対応した Canham-Helfrich 汎関数がある意味で自然に現れるものであることを見出した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上述の「研究実績の概要」で記載した heat content の高次漸近展開は, 今回の研究成果で得られた閾値型近似アルゴリズムの収束証明で重要な役割を担うと考えて取り扱ったものである. 高次漸近展開については一定の成果を得ることに成功したが, 収束証明には至らなかったため, 「(3) やや遅れている」とした.
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度得られた heat content の高次漸近展開と閾値型近似アルゴリズムの変分的解釈を合わせることで, 近似解の収束証明に挑む. また, 本年度取り扱うことができなかった数理モデル, 特に p-ラプラシアン型の非線形項を持つ四階放物型方程式の漸近解析に着手する.
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