作用素環の分類と内部構造の解析

Research Project

Project/Area Number	22KJ0771
Project/Area Number (Other)	22J10118 (2022)
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Multi-year Fund (2023) Single-year Grants (2022)
Section	国内
Review Section	Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	羽柴康仁東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
Project Period (FY)	2023-03-08 – 2024-03-31
Project Status	Completed (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000) Fiscal Year 2023: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000) Fiscal Year 2022: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
Keywords	フォン・ノイマン環 / 接合積 / ユニタリ群 / 作用素環
Outline of Research at the Start	本研究では接合積von Neumann環の構造を解析する。接合積とはv.N.環への群作用から新しいv.N.環を構成する方法である。本研究の一番の目的はこの構成を通して元の群作用ができあがりのvon Neumann環の構造にどのように影響を与えるかということを明らかにすることにある。特に接合積環内のユニタリ群に注目し、この方面の研究を推し進める。特に接合積内における元の群および作用のあったv.N.環のユニタリ群の（内部）共役類を記述することで、群作用とそこから構成された接合積の構造との関係を調べる。
Outline of Annual Research Achievements	群作用から構成した接合積フォン・ノイマン環のユニタリ群についての研究を進めた。前年度は特に、「ユニタリ群の部分群があった場合に、それが元の群作用のユニタリ群に接合積フォン・ノイマン環（もしくはこれを拡張したフォン・ノイマン環）の中で内部共役となるための条件」を、接合積フォン・ノイマン環におけるフーリエ係数の情報、および接合積フォン・ノイマン環に自然に付随する準同形写像の言葉を用いて記述することに成功した。これにより、ユニタリ群の内部共役というフォン・ノイマン環の分類において重要な条件を、フーリエ係数というより扱いやすい量を見ることにより判定することができる。この内容については今年度論文がアクセプトされた。今年度はさらに、上記の設定において、あるユニタリ群の部分群が元の群作用のユニタリ群の正規化群に内部共役となる条件（上の条件よりも弱い条件である）についても研究を進め、前年度部分的に得られていた一般的な結果についての理解を深めた。特にこの結果が前段落で記述した定理の重要な部分を含んでいることを明らかにした。また、ここに現れる条件がある特別なクラスの群作用と一般の作用の直積作用から作られる接合積フォン・ノイマン環を解析する際に自然に現れることを確認した。ここから今回の結果を経由して、この直積作用の接合積についてどのような性質が得られるかはこれからの課題である。また、これらの結果を博士論文としてまとめた。