| Project/Area Number |
22KJ1780
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| Project/Area Number (Other) |
22J00962 (2022)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2023)
Single-year Grants (2022) |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
高松 哲平 京都大学, 理学研究科, 特定助教
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| Project Period (FY) |
2023-03-08 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | 既約シンプレクティック多様体 / 還元 / 正標数 / 混標数 / 数論幾何学 / 代数幾何学 |
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| Outline of Research at the Start |
既約シンプレクティック多様体とは、代数多様体の重要な構成要素の一つと目される多様体である。しかしながら、それらをまとめあげてできるモジュライ空間は未だによく理解されてはおらず、正標数の既約シンプレクティック多様体については，満足いく定義さえ知られてはいない。
本研究では，正標数既約シンプレクティック多様体の定義・研究を行い、それと並行して定義される混標数モジュライ空間の性質を研究する。
また応用として、既約シンプレクティック多様体の Tate 予想や、高さの理論を研究する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、前年度に引き続き、準-F-分裂という特異点についての研究や、さらに、F-lift と呼ばれる特異点の研究を行った。準-F-分裂については、河上氏、田中氏、Witaszek氏、呼子氏、吉川氏との6人の共同研究で、標数が41より大きい log del-Pezzo 曲面が準-F-分裂になることを証明した。この条件は 最良のものであり、標数41においては反例が見つかっている。
一方で、F-lift については、河上氏との共同研究で曲面の"ほとんどの"特異点が F-lift になることを証明した。cusp 特異点と呼ばれる log canonical 特異点についてのみ部分的な結果しか得られていないため、引き続き研究を進める予定である。
どちらも、正標数の代数幾何学において重要な結果といえ、既約シンプレクティック多様体の還元の研究で重要と思われる、正標数・混標数の極小モデル理論への歩みを進めたといえる。
またさらに本年度は、島田氏と共同で、低次元のジーゲル型志村多様体の超特異部分にあらわれる affine Deligne-Lusztig 多様体を、古典的 Deligne-Lusztig 多様体と affine space の直積で書く、という研究を行った。この結果は自身の以前の特定の GSp の affine Deligne-Lusztig 多様体の構造についての研究の延長にあるもので、さらに、志村多様体の数論において重要な意義を持つと考えられる。
現在は、既約シンプレクティック多様体と関係の深い、Fano 多様体についても研究を行っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前述のとおり、基礎理論の研究は非常に順調に進展しているといえるが、既約シンプレクティック多様体そのものへの応用の研究は遅れている。また、前年度の結果を論文にまとめるのも遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、前述のとおり、準-F-分裂の研究、さらには条件をより強めた概念である準-F-正則の研究を行い、極小モデル理論への応用を試みる。
さらには、cusp 特異点の F-liftability の決定を試みる。
また、既約シンプレクティック多様体の研究への応用を模索しながら、前年度の結果を論文にまとめる。
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