曲面結び目のプラット表示に関する分類問題とその応用
| Project/Area Number |
22KJ2189
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| Project/Area Number (Other) |
22J20494 (2022)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2023)
Single-year Grants (2022) |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
安田 順平 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2023-03-08 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,500,000 (Direct Cost: ¥2,500,000)
Fiscal Year 2024: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2023: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2022: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
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| Keywords | 結び目 / 曲面結び目 / ブレイド / ブレイド状曲面 / ニット状曲面 / 4次元トポロジー / かんドル |
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| Outline of Research at the Start |
4次元空間に埋め込まれた閉曲面(曲面絡み目)はプラット表示と呼ばれる平面グラフ(チャート)を用いた記述が可能である。このプラット表示を用いるために必要となる変形手法の整備を行う。またプラット表示から得られる曲面絡み目の不変量であるプラット指数について、結び目理論と相性の良いカンドルと呼ばれる代数系や既存の不変量を組み合わせて調査を行う。またプラット表示は曲面絡み目のトライセクション表示と呼ばれる表示と関連性が深いと推察されるため、トライセクション表示から得られる不変量である橋数について、プラット指数による相対的評価を与える。また、プラット指数の値が小さい曲面絡み目の特性について研究を行う。
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面絡み目とは4次元空間内に埋め込まれた閉曲面である。ブレイド状曲面は4次元球体内で分岐被覆の構造を持つ境界付き曲面である。ブレイド状曲面を用いて曲面絡み目を表示する手法としてプラット表示がある。またブレイド状曲面の次数に注目することで、正整数値の曲面絡み目の不変量であるプラット指数が定まる。本研究の目標は、プラット表示を用いて曲面結び目を理解するために必要な基礎理論の整備、及びプラット指数に関する曲面結び目の研究である。本年度はニット状曲面に焦点を当てて研究を行った。
ブレイドの一般化としてニットと呼ばれる概念がある。中村伊南沙氏（佐賀大学）との共同研究においてニット状曲面を導入した。これはブレイド状曲面の一般化として定まる4次元球体内のコンパクト曲面である。ニット状曲面に関連する結果として、4次元球体へ適切に埋め込まれた全ての境界付きコンパクト曲面はニット状曲面とアイソトピックであることを示した。ニット状曲面は境界が自明であるとき2次元ニットと呼ぶ。これは2次元ブレイドと呼ばれるブレイド状曲面の一般化である。2次元ブレイドに対して閉包と呼ばれる曲面絡み目を構成する手法が定義されている。本研究では閉包を2次元ニットに拡張することで、全ての曲面絡み目を2次元ニットの閉包で表せることが分かった。証明では曲面絡み目のプラット表示から2次元ニットの閉包を構成しており、その点でニット状曲面の閉包はプラット表示の一般化であると言える。
今年度に得られた研究成果は3件のセミナーで招待講演を行い、論文は投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ニット状曲面及び2次元ニットの導入は、当初想定していたプラット表示の有用性を拡張することができる概念である。有用性の根拠として次に挙げる課題の解決がある。スパン2次元結び目という曲面絡み目のクラスがあり、このクラスは基本的な研究対象として活発に研究が進められているが、プラット表示を用いて構成的に表示することができていなかった。この問題点に対して、2次元ニットの閉包による曲面絡み目の表示へ適用すると、とてもシンプルな構成法を与えることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
ブレイド状曲面の理論で知られている事実の拡張がどの程度ニット状曲面へ拡張できるのかどうか調査していく。特に、チャート表示と呼ばれるブレイド状曲面を平面的に記述する手法が知られている。この記述方法がどの程度ニット状曲面に適用可能であるか見極める。
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Report
(2 results)
Research Products
(15 results)
