非線形シュレディンガー方程式の初期値による解の大域挙動の分類

• Project/Area Number: 22KJ2778
• Project/Area Number (Other): 22J10027 (2022)
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Multi-year Fund (2023); Single-year Grants (2022)
• Section: 国内
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Tsuda University
• Principal Investigator: 渡邉 南 津田塾大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)
• Project Period (FY): 2023-03-08 – 2024-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2023: ¥500,000 (Direct Cost: ¥500,000); Fiscal Year 2022: ¥500,000 (Direct Cost: ¥500,000)
• Keywords: 非線形シュレディンガー方程式 / 大域挙動 / 散乱解 / 爆発解 / 定在波解 / 楕円型方程式 / 基底状態 / 爆発 / 散乱 / エネルギー臨界 / 質量臨界 / 非線形楕円型方程式

Outline of Research at the Start

二重冪を非線形項に持つシュレディンガー方程式(NLS)の解を初期値によって分類する．(NLS)の解の挙動を調べるには，方程式の分散性と非線形性の相互作用を如何にして解析するかが主要な問題である為，様々なノルムの時間大域での有限性や減衰評価を考えなくてはならない．本研究では基底状態と等しい作用汎関数を持つ初期値について解析していく．さらに，空間二次元の場合の臨界冪にあたる指数型非線形項を持つシュレディンガー方程式の解の分類を解析する．この場合については，まず基底状態より小さい作用汎関数を持つ初期値の解の大域挙動についてビリアル汎関数が正の場合の解の挙動を考察していく．

Outline of Annual Research Achievements

本研究では，非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動を扱う．分散型方程式に分類されるこの方程式は，その非線形性と線形部分による分散性との兼ね合いによって解の時間大域挙動が変化する．分散性が支配的な場合は，解の振幅が時間とともに減衰し，時間無限大で線形解に近付く散乱解，非線形性が強い場合は大域的に延長できない爆発解，そして分散性と非線形性が釣り合う場合は一定の振幅をたもつ定在波解になる．本研究では，初期状態によってこれらの大域挙動を分類するのが目標である．解の分類にはこの分散性と非線形性の相互作用を調べる必要があり，そのため分散性をあらわすビリアル汎関数の符号による分類を用いた．
まず，津田塾大学の菊池弘明氏，早稲田大学の浜野大氏とともに二重冪の非線形項を持つシュレディンガー方程式の解の挙動について調べた。特に，空間変数３次元の場合における質量超臨界とエネルギー臨界の二重冪の方程式に対して，基底状態(方程式から導出される楕円型方程式の非自明解)と初期値の作用汎関数が等しい場合について，解の大域挙動をビリアル汎関数に符号によって特徴付けした集合で分類した．さらに，二重冪の関連問題として，空間変数2次元の場合における二重臨界冪にあたる指数関数項を持つシュレディンガー方程式の解の挙動についても調べた．特に，基底状態より小さい作用汎関数を持つ初期値に対して，ビリアル汎関数が負の場合について考察した．この結果は現在論文としてまとめている最中である．