| Project/Area Number |
23H00086
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
坂上 貴之 京都大学, 理学研究科, 教授 (10303603)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
横山 知郎 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (30613179)
榊原 航也 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (30807772)
宮廻 裕樹 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 講師 (40881206)
小野寺 有紹 東京科学大学, 理学院, 准教授 (70614999)
奈良 高明 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 教授 (80353423)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2026)
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| Budget Amount *help |
¥44,200,000 (Direct Cost: ¥34,000,000、Indirect Cost: ¥10,200,000)
Fiscal Year 2026: ¥7,800,000 (Direct Cost: ¥6,000,000、Indirect Cost: ¥1,800,000)
Fiscal Year 2025: ¥8,840,000 (Direct Cost: ¥6,800,000、Indirect Cost: ¥2,040,000)
Fiscal Year 2024: ¥8,580,000 (Direct Cost: ¥6,600,000、Indirect Cost: ¥1,980,000)
Fiscal Year 2023: ¥10,010,000 (Direct Cost: ¥7,700,000、Indirect Cost: ¥2,310,000)
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| Keywords | 複素解析 / 特異点解析 / 逆解析 / 自由境界問題 / 基本解解法 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究課題は複素関数の動的特異点解析を用いて (P1) トポロジカル特異点フロー解析による非線形波動の数値解析，(P2) 特異点最適化による基本解解法の高度化と確率論・自由境界問題への応用，(P3) 特異点逆解析と特異点解析の三次元化による点ソース同定の逆問題への応用，(P4) 動的特異点解析によるベルヌーイの自由境界問題の研究，(P5) 動的特異点解析による細胞集団の配向場やトポロジカル欠陥の数理モデリング の研究を推進する.これらを通じて，特異点解析の数学理論を深化させ，応用分野を拡大する.さらに，応用数学の国際的潮流である学術基盤“応用計算複素解析(ACCA)”の進展にも貢献する.
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| Outline of Annual Research Achievements |
各サブプロジェクトでは以下の成果を得た．(P1)で，横山はリーマン面上の1次元のレベルセット関数の極限的な振る舞いを完全に記述した．また，非有界なリーマン面上の向き付け可能な配向場が1次元のレベルセット関数として表される場合を特徴づけた．加えて，坂上とともに(P5)の配向場やトポロジカル欠陥の構造安定性を記述する手がかりを得た．(P2)では，榊原が，高次元球領域上での基本解解法の数学解析を行った．球面上にランダムに選点を，それらを相似拡大した場所に特異点を配置した際に一意近似解の存在を示し，その近似誤差の上からの評価を得た．(P3)で，奈良は四元数による三次元ポテンシャル場の特異点逆解析手法として，ポテンシャル場の物理的媒体の時空間変化を等価的な特異点とみなす検出法を開発した．(P4)では，小野寺が平面領域におけるベルヌーイの自由境界問題に対するFlucher-Rumpf予想について考察した．特に，一般単連結領域の場合に，Robin 関数の非退化極小点に集中する双曲型自由境界の近似解を構成し，それが非退化であることを示した．(P5)では，宮廻，奈良，坂上および研究協力者の三好によって単連結・二重連結領域におけるネマチック弾性エネルギーの陽公式を構築した．さらに，この理論を拡張し，境界上に特異点を持つ多角形領域におけるエネルギー計算法も構築した．また，(P1)で研究されている配向場表現法の具体的な応用に向け，ネマチック液晶における配向場の流線の構成法を宮廻，三好，奈良らが構築した．最後にACCAの国際研究連携を推進し，Physica DのSpecial Issueを完成させた．1月に京都大学において国際ワークショップ「One-day workshop on ACCA」を開催した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(P1)-(P5)で設定した個別の課題の研究も順調に進んでいる．またこの計画で重視している(P1)-(P5)の課題の横断的連携活動も継続しており，発展が期待できる．Applied and Computational Complex Analysis (ACCA) の国際的な研究連携活動も活発に継続している．
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| Strategy for Future Research Activity |
(P1)から(P5)の研究項目において代表者と分担者の綿密な連携により，以下の課題に取り組む．(P1)では，リーマン面上の関数の特異点分布に対して，それによって生成される勾配流の流線トポロジーの計算可能な具体的な表現を創出し，その一般的な遷移を記述する手法を確立する．ここで得られた流線トポロジーの離散構造表現法を，(P5)のネマチック液晶における配向場の流線の構成法に応用する．(P2)では，多様体上の調和測度の数値解析に取り組み始める．また，基本解解法に基づいた逆問題手法の構築に取り組む．(P3)では，四元数を用いた三次元ポテンシャル場特異点逆解析手法を開発する．また，基本解近似解法をポテンシャル場の補外問題に応用する．(P4)ではベルヌーイ自由境界問題の自由境界の凝集現象および漸近形状について，多重連結領域の場合を含めた一般的状況下において理論的および数値的解析を行う．また上記解析で培った摂動論を用いて基本解解法の近似精度に関する最適化問題を考察する．(P5)では，点渦力学における形状微分法を基盤として，細胞集団中の所望の位置にトポロジカル欠陥を配置する境界形状を決定するための逆問題解法を構築する．研究推進のための全体ミーティングを開催し，上記研究を推進し，成果の共有と今後のさらなる研究項目間の連携が進むようにする．また，各研究項目の研究進捗状況を定期的に確認する機会を設けて，上記方針に従った着実な研究達成に向けた連携活動を行う．応用数理学会や日本数学会など関連する国内の研究集会に参加して研究情報の収集や研究発表を行うと同時に，海外における研究集会での情報収集や成果発表を行う．また，当該分野の国際的な研究者ネットワークの拡大を図る．特に当該分野に関連の深いVikas Krishnamurthy氏やLesley Ward氏との交流を重視して行う．
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