数値計算支援による低次元トポロジーと幾何群論の研究

• Project/Area Number: 23K03082
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Kitami Institute of Technology
• Principal Investigator: 蒲谷 祐一 北見工業大学, 工学部, 准教授 (70551703)
• Project Period (FY): 2023-04-01 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2025: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000); Fiscal Year 2024: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000); Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
• Keywords: 双曲幾何学 / 計算機支援 / 幾何群論 / 低次元トポロジー / 幾何構造 / 数値計算

Outline of Research at the Start

低次元トポロジーや幾何群論において計算機の利用は普遍的なものとなってきている。多くの場合は数式処理システムを用いた厳密な計算に利用するもので，既に多くの研究者に広まっている。一方で誤差を含みうる数値計算の利用することで，厳密な計算では得られない重要な結果がこれらの分野で得られている。本研究課題では低次元トポロジーや幾何群論において数値計算の問題としてアプローチできる問題について，プログラムの作成を含め研究する。具体的には，Kazhdan 定数の評価，曲面群の表現の空間への写像類群の作用，擬フックス表現の凸包の描画，について取り組む。

Outline of Annual Research Achievements

低次元トポロジーや幾何群論において計算機の利用は普遍的なものとなってきている。多くの場合は数式処理システムを用いた厳密な計算に利用するもので，既に多くの研究者に広まっている。一方で誤差を含みうる数値計算の利用することで，厳密な計算では得られない重要な結果がこれらの分野で得られている。本研究課題では低次元トポロジーや幾何群論において数値計算の問題としてアプローチできる問題について，プログラムの作成を含め研究する。既に，元となるプログラムは申請時には出来ていて github で公開もしているが，それに改良を加え，研究を進めているところである。計算機に関連する話題として，近年では機械学習による数学の研究も現れ初めた。低次元トポロジーの分野でも機械学習での観察から，数学的な結果を得るような論文が見られる。このような動向の顕著な現れとして，Bulletin of the AMS の Vol. 61-2, 3では機械学習と数学の特集が組まれている。また，本研究課題で扱う Kazhdan 群に付随して現れるエクスパンダーグラフが，グラフニューラルネットワークで有用であることを示す論文も見られる。本年度は教育や学内の業務，他の研究課題，私事で忙しいこともあって研究に割く時間がほとんど確保できなかった。その様な中でも，機械学習と関連した話題などを追うことはしていた。多忙のため，研究費の使用は書籍の購入に留まった。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

教育や学内の業務，他の研究課題，私事で忙しいこともあって進捗はよくなかった。

Strategy for Future Research Activity

Github で公開しているプログラムに追加の機能を追加しているので引き続き進めていきたい。他の延長していた研究課題の方は終了予定なのでこちらに注力したい。