| Project/Area Number |
23K03115
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
笹平 裕史 九州大学, 数理学研究院, 教授 (30466825)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,940,000 (Direct Cost: ¥3,800,000、Indirect Cost: ¥1,140,000)
Fiscal Year 2027: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2026: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | Seiberg-Witten Floer理論 / 低次元トポロジー / ホモトピー論 |
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| Outline of Research at the Start |
Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型という３次元多様体の不変量の計算手法を開発し、低次元トポロジーや結び目理論への応用を行う予定である。応用として、境界付き４次元多様体のトポロジーへの応用や、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型と結目理論の不変量であるKhovanovホモトピーとの関連を研究していく予定である。
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| Outline of Annual Research Achievements |
Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型という３次元多様体の不変量の研究を行った。Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型とは、モノポールFloerホモロジーと呼ばれる重要な不変量の精密化である。モノポールFloerホモロジーは多くの計算例があり、さまざまな重要な応用が知られている。一方、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型は、いくつかの重要な応用が知られているものの、計算が難しく、応用の範囲は限定的であった。
DaiとStoffregenとの共同研究により、almost rationalという条件をみたすplumbing ３次元多様体に対して、Seiberg-Witten Floer安定元ピー型を計算することに成功した。この３次元多様体のクラスは、第一Betti数が0のザイフェルトファイバー空間を含み、多くの例がある。これまでSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の計算は、ザイフェルトファイバー空間の特殊な場合のみであったが、本研究により、具体的計算例が広がった。また、この計算の結果、境界付き４次元多様体の交差形式への応用を得ることができた。また、今野氏とは、３次元多様体の族に対するSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の応用に関する共同研究を行った。その結果、境界付き４次元多様体の微分同相群に関する幾つの応用を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の目標の一つはSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の計算を行うことであったが、これまでの研究により、広いクラスの３次元多様体に対して、計算を実行することに成功した。さらにその計算により、４次元トポロジーにおいて重要な交差形式に対して、非自明な応用を得ることができた。また、３次元多様体の族のSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型は、境界付き４次元多様体の微分同相群に関して、応用を持つことを明らかにすることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究によってSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の新しい計算例を得ることができた。しかし、その３次元多様体は第一Betti数が0である。第一Betti数が正の場合に、計算を拡張することを今後研究していくことにする。その計算を用いて、低次元トポロジーのさらなる応用を行う予定である。これを行うには、第一Betti数が正の３次元多様体に沿って４次元多様体が分割されるときのBauer-Furuta不変量の張り合わせ公式が必要になると考えられる。この張り合わせ公式を証明することを当面の目標とする。
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