Fast numerical methods for solving large-scale matrix equations

Research Project

Project/Area Number	23K19951
Research Category	Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	1001:Information science, computer engineering, and related fields
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	佐竹祐樹北海道大学, 情報基盤センター, 特任助教 (80980458)
Project Period (FY)	2023-08-31 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000) Fiscal Year 2024: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000) Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords	行列方程式 / 反復法 / 低ランク近似 / 前処理
Outline of Research at the Start	行列方程式は理工学や情報学などの幅広い応用分野に現れるため，その求解は重要である．一般的に係数行列が疎行列であっても解行列は密行列になるため，大規模な問題の場合には，反復法に低ランク近似を組み合わせて用いられる．ただし，低ランク近似によって収束性が悪化するため，収束を改善するための前処理技術が必要となる．本研究では，行列方程式の数理的な構造に基づく前処理の開発によって，行列方程式に対する高速数値解法の構築を目指す．
Outline of Annual Research Achievements	本研究では，大規模な行列方程式に対する数値解法の枠組みとして「低ランク近似を用いた反復法」を考える．この枠組みでは，近似解行列を反復毎に低ランク行列として保持することで，所要メモリを抑制することができる．しかし，低ランク近似によって収束性が悪化するため，前処理による収束性の改善が必要である．本研究では，行列方程式のもつ数理的構造（テンソル構造）を保存するような前処理を開発することで，数値解法の高速化を目指す．本手法で主に考えることは，前処理行列にテンソル構造をどう与えるか，及び前処理に関する計算をどのように行うかの2点である．本年度ではまず，前処理行列に対するテンソル構造の与え方として，最も簡単な構造を検討した。この構造は，以前に「低ランク近似を用いない反復法」に対して構築・適用を行っており，いくつかの数値例で収束性の改善がみられていた．一方で，本研究で考えている「低ランク近似を用いた反復法」に適用した場合，「低ランク近似を用いない反復法」に対して収束性の改善が見られた数値例であっても，あまり収束性の改善はみられなかった．これは，低ランク行列で近似していることによる収束性の悪化が，前処理による収束の改善に比べて強く影響しているためだと考えられる．また，今回検討した前処理行列の構造では，前処理の計算が最小二乗問題に帰着するが，本研究ではこの問題を解く手法としてCGLS法を用いた．ただし，現時点でこの最小二乗問題を解くための計算時間がボトルネックとなっていることが分かった．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 最初に検討したテンソル構造の与え方で収束性が改善されなかったことについては，当初から想定していたことであるため，進捗状況的に大きな問題はないと考えている．ただし，前処理の計算に予想以上の時間がかかっている点は，計算手法等の根本的な見直しが必要であり，これに起因して「やや遅れている」とした．
Strategy for Future Research Activity	まずは，前処理行列に対するテンソル構造の与え方を変更する必要がある．はじめに「一つのテンソル積で表される行列」を検討し，収束性が改善されなければ「テンソル積で表される行列の和」を考える予定である．ただし，これらの場合でも前処理の計算に時間がかかり，収束性が改善されたとしても計算時間としては高速化されない可能性がある．その解決策として，応用分野でよく現れるような特定のクラスの問題毎に分けて考えることで，各クラス毎に計算の削減を目指すつもりである．