| Project/Area Number |
23K20206
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| Project/Area Number (Other) |
20H01795 (2020-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2020-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
柏原 正樹 京都大学, 高等研究院, 特定教授 (60027381)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥13,260,000 (Direct Cost: ¥10,200,000、Indirect Cost: ¥3,060,000)
Fiscal Year 2024: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2020: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
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| Keywords | 代数解析 / リーマン・ヒルベルト対応 / モノイダル圏化 / アフィン量子群 / アフィンヘッケ箙圏 / 表現論 / 箙ヘッケ環 / 不確定特異点ホロノミック系 / クラスター代数 / 圏化 / 量子群 |
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| Outline of Research at the Start |
表現論は、種々の数学的対象の対称性を研究する分野である。古典的には群が主要な道具であったが、最近は量子群,箙ヘッケ環などの新しい道具が生まれ、それまで扱えなかった対称性も扱えるようになり、幾何学、圏論、組み合せ論などの様々な観点からの研究が進んでいる。
また、Fomin-Zelevinskiによって導入されたクラスター代数の概念をもちいると、量子群,箙ヘッケ環の表現論に新しい視点を与えることが明らかになりつつある。
この計画においては、モノイダル圏の観点からこれらを国内外の共同研究者とともに研究する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子アフィン環と箙ヘッケ環には密接な関係がある。その直接的な関連性は、Schur-Weyl双対性をもちいて記述される。この双対性を具体的に与えるには、いろいろなデータが必要となる。一方、量子アフィン環の加群圏はクラスター代数の構造を持つが、それを与えるのにもいろいろなデータが必要である。これらのデータが、カルタン行列の変形とルート系の組み合わせ論を用いることにより比較的簡単に得られることを示した。これはSe-jin Oh との共同研究である。
また、 ワイル群の元に対応して箙ヘッケ環の表現の圏が得られる。その局所化を研究した。箙ヘッケ環の表現の圏は、モノイダル圏と呼ばれる積の構造を持つ。しかしこれらの圏は、双対性を有しない。しかし、それに局所化の操作を施すと、双対性を持つことを示した。さらに、これらの箙ヘッケ環の表現のいろいろな圏の間には、局所化すると同型になる場合が数多く現れることを示した。これは、Myungho Kim, Se-jin Oh, Euiyong Parkとの共同研究である。
また、 Andrea D'Agnoloとの共同研究で、先に導入した強化層の性質を研究した。強化層は、不確定特異点をもつホロノミーD加群の研究のために導入された位相的な概念である。さて、関数の無限遠点での挙動とそのフーリエ変換の有限点での挙動が関連することはよくしられた古典的な現象である。この現象が、強化層にたいしても起ることを示した。すなわち、強化層の有限点での特異性の挙動と、そのフーリエ変換の無限遠点での特異性の挙動が強く関連することを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナ蔓延の影響が完全には解消されず、研究代表者が訪韓しての共同研究も取りやめとなった。
そのため、研究経費の一部を返還することとなった。
また、量子アフィン環上の加群圏を次数つき圏に持ち上げる研究が思いの外難しく、難航しているのも原因の一つである。
これらの事由により、研究計画はやや遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
A. 量子アフィン環上の加群圏を次数つき圏に持ち上げる方策を探る。残念ながら、これは予想外に難しい事が分かりつつある。そこでそのグロタンディック群をまず詳しく研究することから始めたい。
B. 箙ヘッケ環に付随したモノイダル圏は、局所化すると、双対をもつことがしばしばあり、これが、団代数としての構造の解明の助けとなっている。これをさらに追求する。又、その結晶構造は簡単に記述できそうなので、この研究も平行して行う。
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