精度保証付き数値計算の前進---有限と無限をつなぐもの---
| Project/Area Number |
23K20812
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| Project/Area Number (Other) |
21H01000 (2021-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
木下 武彦 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (30546429)
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Declined (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥17,160,000 (Direct Cost: ¥13,200,000、Indirect Cost: ¥3,960,000)
Fiscal Year 2024: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2023: ¥5,070,000 (Direct Cost: ¥3,900,000、Indirect Cost: ¥1,170,000)
Fiscal Year 2022: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 有限要素法 / 線形作用素の可逆性 / 射影誤差評価 / 非線形偏微分方程式 |
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| Outline of Research at the Start |
精度保証付き数値計算とは、代数方程式や微分方程式などの解の存在および誤差限界を数学的 に保証する数値計算法です。本研究課題の目的は、応募者が構築してきた無限次元計算理論の高度化と、その基盤となる有限次元部分空間への直交射影に対する誤差評価手法の高効率化により、有限と無限をつなぐ普遍的な数値計算法を確立することにあります。また、結実した理論・方法を、非線形関数方程式の未解決問題に対する計算機援用証明に応用するとともに、無限次元固有値問題と安定性解析、さらに、非整数階微分方程式の数値的検証に展開・拡張します。
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き、非線形関数方程式に対する精度保証付き数値計算手法の一般化・汎用化に取り組みました。具体的な研究実績は以下の通りです。
(1) 具体的な応用となる非線形関数方程式を念頭に、適切な方法により得られた近似解の周りで非線形関数方程式の線形化により導かれた線形作用素の可逆性検証条件の改善と、逆作用素ノルムの上界を効率的に評価する手法を推進しました。あわせて、2階楕円型作用素における収束オーダーの改善と定量的な逆作用素ノルムの誤差限界を与えることに成功し。国内学会において成果を発表しました。
(2) (1)で得られた線形化作用素の可逆性検証と逆作用素ノルム評価を用いて、非線形関数方程式を無限次元Newton型作用素による不動点形式に同値変形します。不動点問題を計算機により解くためには、計算機による取扱いが可能な有限次元部分空間の設定と、無限次元空間から有限次元部分空間への直交射影の定量的誤差評価が要請されます。様々な形状の領域にも対応する基底関数より構成される有限次元部分空間に対する直交射影の誤差の最適値を上限・下限の形で数学的に厳密かつ精緻に捉える研究を推進し、特異性を含む線形作用素への応用を含む実問題への適用に成功しました。
(3) (1)(2)により達成される理論および基盤技術を，非線形関数方程式の解の存在検証に適用しました。今年度は、Navier-Stokes方程式から導かれるProudman-Johnson問題、Elkouh問題、Bermann問題の解に対する計算機援用証明に取り組み、いくつかの検証例を得ることができました。さらに、3次元波動方程式の爆発解の存在検証に成功し、数学的な未解決問題のひとつである安定性解析への道筋を付けることができました。
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| Research Progress Status |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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Report
(3 results)
Research Products
(36 results)
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[Presentation] A computer-assisted proof for a nonlinear differential equation involved with self-similar blowup in wave equations,2023
Author(s)
Yoshitaka Watanabe, Kaori Nagatou, Michael Plum, Birgit Scherkhuber, and Mitsuhiro T. Nakao
Organizer
Minisymposia: Verified Numerical Computations and Applications, in the 10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM), August 20-25, 2023, Waseda University, Tokyo, Japan.
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