| Project/Area Number |
23K22399
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| Project/Area Number (Other) |
22H01128 (2022-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2022-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
梶野 直孝 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (90700352)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
Croydon David 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (50824182)
中島 誠 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (60635902)
田中 亮吉 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80629759)
白石 大典 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00647323)
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| Project Period (FY) |
2024-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥16,900,000 (Direct Cost: ¥13,000,000、Indirect Cost: ¥3,900,000)
Fiscal Year 2026: ¥5,200,000 (Direct Cost: ¥4,000,000、Indirect Cost: ¥1,200,000)
Fiscal Year 2025: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2024: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000)
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| Keywords | ポテンシャル論 / 調和測度 / フラクタル上のp-エネルギー形式 / フラクタル上のp-エネルギー測度 / ランダムフラクタル / スケール極限 / ランダムウォーク / 臨界的2次元確率熱流 / 劣ガウス型熱核評価 / フラクタル上のポテンシャル論 / フラクタル上の確率過程 / 自己等角フラクタル / （劣）ガウス型熱核評価 / 反射壁拡散過程の境界へのトレース過程 / フラクタル上の確率熱方程式 / 2次元一般化Sierpinski carpet / ランダム媒質中の確率過程 / 離散群上のランダムウォーク |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の主題は，熱方程式に現れる微分作用素であるラプラシアンのフラクタルにおける対応物，および熱拡散に対応する確率過程の，解析的性質・幾何的性質と両者の相互関係である．既存の研究では熱拡散の速さに対する不等式評価とその直接的な応用に関するものが主流である一方，確率過程の大域構造・調和測度（確率過程の境界集合への初到達位置の確率分布）・エネルギー測度など熱方程式の解を用いて直接記述することが困難な基本的対象も多く，後者の研究はその重要性にも拘らず遅れている．本研究課題では，一方に偏らない両者の研究の進展，ひいてはフラクタルおよびその上の確率過程の解析学・幾何学の包括的な発展を目標に研究を行う．
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| Outline of Annual Research Achievements |
梶野はM. Murugan氏と共同で，前年度に得ていた一様領域上の反射壁拡散過程の境界へのトレース過程に関する結果をトレース過程が内部消滅を持ち得る場合へと拡張しつつ論文にまとめ，学術雑誌に投稿した．
また清水良輔氏（早稲田大）と共同で，一定の自然な仮定の下で性質の良いp-エネルギー形式・p-エネルギー測度がBesov型エネルギー汎関数の各点収束極限として構成できることを示し，この結果をまとめた論文は査読を経て研究集会論文集に採録決定した．さらに清水氏と共同でp-エネルギー形式・p-エネルギー測度の縮小性・微分可能性に関する一般論を展開した論文を完成させ学術雑誌に投稿した．
Croydonはランダム環境中のランダムウォークに関する種々の話題について研究を行い，有限2分木上のバイアス付きランダムウォークの被覆時間が2分木の大きさを無限大にするときのスケール極限でカントール集合上のある跳躍型確率過程の被覆時間に収束することを証明した．
中島は特異確率偏微分方程式の1つである臨界的2次元確率熱流に対してセミマルチンゲールとしての表現を与え，さらに測度値確率過程として対数的Besov-Hoelder空間における正則性について一部の結果を得た．
田中は双曲群の境界の積に定まる自然な調和測度の1-パラメータ族がすべて互いに特異であるという結果を得（Timothee Benard (CNRS-Paris Nord)との共同研究），論文にまとめarXivで公開した．関連するdimension dropの問題は未解決である．
白石は，3次元ループ除去ランダムウォークを確率過程とみなし適切に時空のスケーリングを取るとある確率過程に弱収束する，という重要な結果をまとめた論文の出版にようやく漕ぎ着けた．これにより，別論文で示していた3次元一様全域木のスケール極限の存在も同時に公式に保証されたことになる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
まず梶野が当該年度に行った共同研究のうち，Murugan氏と行った反射壁拡散過程の境界への調和測度とトレース過程に関する研究は研究計画調書に記した課題(1)-(7)のうち(4)「領域上の調和測度」の研究に大きな進展をもたらすものであるが，これについては関連するいくつかの技術的問題の解決，および論文執筆と投稿を概ね予定通りに完了した．
また梶野が清水氏と行ったp-エネルギー形式・p-エネルギー測度の研究は広い意味で課題(5)「エネルギー測度」に関連するものであるが，これについても論文執筆と投稿が概ね予定通りに進行しており，さらにこれに続く結果である有限分岐的自己相似フラクタルにおけるp-調和関数の諸性質や異なるpに対するp-エネルギー測度同士の特異性についても論文の執筆が着実に進んでいる．
Croydon・中島・田中・白石も関連する研究課題について精力的に研究を行うとともに，論文の公表および研究発表も着実に行っており，本科研費研究課題の目的は十分に果たせていると評価できる．
Croydonの研究は課題(2)「ランダムフラクタルにおける熱核評価」や課題(3)「対応する拡散過程の標本路の大域構造」，中島の研究は課題(6)「フラクタル上の拡散過程を土台にした統計物理モデルの解析」，田中の研究は課題(4)「領域上の調和測度」，白石の研究は課題(3)「拡散過程の標本路の大域構造」にそれぞれ広い意味で関連するものである．
以上の経過から，全体として研究は概ね順調に進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
2024年度の梶野の研究活動では，前年度に得た研究結果および関連する技術的問題に関する論文の執筆と学術雑誌への投稿は順調に進んだが，その一方で未解決の課題の研究に本質的な進展をもたらすことはできなかったため，2025年度の研究では既に得られている結果に関する論文の執筆と並行して未解決課題の解決方策の考案にも注力する．
実際にはごく最近の研究で，一定の幾何的対称性を満たす有限分岐的自己相似フラクタルにおいて異なるpに対するp-エネルギー測度同士が互いに特異になるために必要十分と思しき簡明な位相的条件を特定することに成功しているため，まずはこの条件が必要十分であることの証明を完成させ論文にまとめるべく検討と執筆を進める．
また課題(1)「熱核評価の特徴付けや安定性についての一般論」・課題(2)「ランダムフラクタルにおける熱核評価」に関して，Murugan氏による先行研究(Asian J. Math., 2023)の結果をランダムフラクタルにも適用可能な形に改良することを目標に引き続き検討を進めるとともに，課題(7)「自己等角フラクタル上のラプラシアン」についても梶野のこれまでの研究における手法の応用により単純曲線でないフラクタルやランダムな単純フラクタル曲線の上に自然なラプラシアンを構成できないかを，自己等角フラクタルに関する先行研究を精査しつつ引き続き検討する．
その他，研究計画調書に記した課題(1)-(7)および関連する新たな研究課題について，梶野および研究分担者のCroydon・中島・田中・白石がそれぞれ引き続き国内外の研究集会に出席して近年の研究の進展に関する情報の把握に努めるとともに，Croydon，中島，田中，白石と梶野の間で必要に応じて研究打合せを行うことにより解決に向けて努力する．
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