| Project/Area Number |
24KJ0122
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
武内 太貴 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教
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| Project Period (FY) |
2024-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥5,850,000 (Direct Cost: ¥4,500,000、Indirect Cost: ¥1,350,000)
Fiscal Year 2026: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
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| Keywords | 最大正則性定理 / 半線形熱方程式 / 調和解析 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では藤田型方程式の初期値問題を解析する．ここで扱う藤田型方程式は，熱方程式にべき乗型の非線形項を加えたものであるが，本研究ではさらに時間依存する非斉次項を加える．初期値や非斉次項が測度などを含む超関数の枠組みで与えられる状況を考察し，対応する初期値問題の解を構成する．さらに，その解は特殊な最大正則性評価を満たすことを示す．ここで最大正則性とは，解が与えられた非斉次項に対して最良の正則性を持つことを意味し，したがって本研究は強い特異性を持つ情報に対する可解性理論とその最良の正則性を明らかにするものである．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の動機付けとなった研究成果を進展させた。より詳細には、半線形熱方程式の解の平滑化効果の破綻に関する以前の自身の研究成果を改良した。以前の成果では平滑化効果の閾値を特徴付けたが、その閾値での平滑化効果の解明が不十分であった。新たな研究成果では、空間方向にはHolder空間の閉部分集合、時間方向には汎弱連続関数の空間を用いることで、より精密な平滑化効果を特徴付けた。本結果は単著論文として現在投稿中である。
一方で、本研究の遂行の道具となる新たな関数空間の解析を行った。本来この成果は本研究課題の着手前から完成し投稿中であったが、議論に不十分な点が見つかり修正を行った。適切な修正を行うことで、新たな関数空間の元はBesov空間の和空間に値を持つLorentz型Bochner空間として特徴づけられることが示された。同種の特徴付けは自身が導入した新たな関数空間の元となっているChemin-Lerner空間においても考察されていなかった問題であり、したがって既存の関数空間の数学的定式化にも貢献した。本結果は単著論文として投稿し、Journal of Fourier Analysis and Applicationsに掲載予定である。
さらに、上述の問題の解決のきっかけとなった澤野嘉宏先生とMorrey空間を基礎としたChemin-Lerner空間の特徴付けについても考察し、熱半群を用いた同値ノルムの表現を得た。本結果は共著論文として現在投稿中である。
最大正則性定理の偏微分方程式への応用に関して、本研究課題の動機付けとなる小薗-清水(2019)の結果と類似の研究成果を得た。小薗-清水(2019)の結果の拡張には当たらないが、この結果に含まれないような特異性を持つ外力に関してNavier-Stokes方程式系の強解の一意存在定理を示した。本結果は単著論文として現在投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現状では研究課題の目標として掲げていた線形熱方程式の最大正則性定理は明らかになってはいないが、新たな関数空間の解析に関して当初想定していた以上の進展があった。また、小薗-清水(2019)の結果と類似の研究成果を得た点についても、本研究課題である半線形熱方程式への応用が期待される。したがって当初の予定とは異なるが、新たな研究分野を開拓しつつ当初の研究課題も解決可能となることが期待される。
また、新たな共同研究を行ったことをきっかけに、本研究課題を調和解析的手法の専門家と議論しつつ発展させていくことも期待できる。現状では当初の研究課題は肯定的に解決されると考えられるが、場合によっては当初の予定よりもより発展的な形で研究成果が得られることが予期される。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは当初の予定通り線形熱方程式の最大正則性定理を明らかにする。そのために、今回得られた新たな関数空間の研究成果である実補間空間における特徴付けを用いる。また、今回得られた小薗-清水(2019)と類似の研究成果に関しても、半線形熱方程式での対応した結果の導出を行う。基本的に線形化問題での議論は同様の手法が用いられるため、非線形項の部分に対する評価がどのように変化するか考察する。新たな関数空間の解析についても、通常のBesov空間で行われている議論と同様の手法が使えない箇所が一部あったため、この対応に関する研究も同時に進めていく。
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