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Quantum isomonodromic deformation and Lax formulation

Research Project

Project/Area Number 26287018
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypePartial Multi-year Fund
Section一般
Research Field Basic analysis
Research InstitutionKobe University

Principal Investigator

山田 泰彦  神戸大学, 理学研究科, 教授 (00202383)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 太田 泰広  神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
野海 正俊  神戸大学, 理学研究科, 教授 (80164672)
Project Period (FY) 2014-04-01 – 2020-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2018)
Budget Amount *help
¥15,990,000 (Direct Cost: ¥12,300,000、Indirect Cost: ¥3,690,000)
Fiscal Year 2018: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2017: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2016: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2015: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Fiscal Year 2014: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Keywordsモノドロミー保存変形 / ラックス形式 / 量子化 / パデ法 / 自励化 / パンルヴェ系 / q-ガルニエ系 / ゲージ理論 / qガルニエ系 / 楕円ガルニエ系 / パデ補間 / 楕円差分 / 差分系 / 超離散 / 共形場理論 / 量子パンルヴェ方程式
Outline of Annual Research Achievements

申請時に記載した研究目的は、次の通りである。「本研究の目的は、パンルヴェ系を雛形とするモノドロミー保存変形方程式の、高階化、多変数化などの種々の拡張と、その量子化を探求することである。時に、ラックス形式の量子化の構成、その対称性、特殊解の解明を目標としている、合わせて、共形場理論やゲージ理論との対応についても平行して研究し、それを手がかりとして、パンルヴェ系の良い一般化および良い量子化を探る。」
最終年度に当たる本年度(平成30年度)の研究では、昨年までの研究で明らかにした、差分ガルニエ系の種々の定式化をもとに、その可積分構造の解明を中心に研究を進めた。特に、q-差分系の場合に、量子化の基礎となる正準構造について一般的な理解が得られた(論文準備中)。また、分担者の太田はYajima-Oikawa系の厳密解の理論をさらに進展させた。
本研究課題と密接に関連する差分可積分系分野の主要な国際会議であるSIDE13(隔年開催)を11月11日-17日に福岡で開催した。研究代表者(山田)と分担者(野海)が組織委員として運営に協力すると共に、本研究課題の補助金を、招待講演者への旅費等に活用した。また、本研究の代表者、分担者1名が招待講演を行った。
山田と野海、およびSIDE13の招待講演者の1人であるS.Ruijsenaarsは、楕円的な量子多体可積分系の重要な例であるvan Diejen模型と楕円差分パンルヴェ方程式の対応について共同研究を行い、具体的な対応関係を明らかにすることができた。結果を論文"The elliptic Painleve Lax equation vs. van Diejen's 8-coupling elliptic Hamiltonian"にまとめ現在査読中である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

この数年間でパデ法の技術が着実に前進し、その適用範囲が大きく広がった。特に、(差分)ガルニエ系について、楕円差分版も含めた明快な構成が得られたことにより、幾何学的な構造が大変明瞭になった。これにより、モノドロミー保存変形の高階化、多変数化に対する基本的な枠組みの1つとなると考えられる。
最終目標である量子化については、本研究の初期に得られた微分系の場合と同様な結果までには達していないが、古典ラックス形式と量子可積分系との対応を楕円差分系に拡張する(Noumi, Ruijsenaars, Yamadaの共同研究)などの成果を得た(論文投稿中)。また、この研究に関連して、q差分ガルニエ系に付随する離散自励可積分系の正準構造の理解に前進があった。
2018年1月にDubna(ロシア)で行った講義内容を論文"Theory and applications of the elliptic Painleve equation"にまとめた。他の執筆者の事情により出版時期は不明である。

Strategy for Future Research Activity

本研究においてその背景の1つとなったAGT対応(2次元共形場理論と4次元超対称ゲージ理論の対応)は、この10年で大きく進展し, Virasoro代数やそのq変形を広範に拡張した様々な代数構造(W代数、アフィンヤンギアン、トロイダル代数、アフィンヘッケ代数など)が議論されるようになった。こうした代数構造とモノドロミー保存変形との関連は重要な問題である。本研究で明らかになった自励的qガルニエ系のスペクトル曲線とゲージ理論・弦理論における(p,q)-brane webとの対応を手がかりとして、可積分系及の観点からの研究を引き続き進展させる。
また、多変数の可積分系を扱う一般的な枠組みの1つにクラスター代数を用いた方法があり、最近、そのモノドロミー保存変形への応用が様々なグループにより扱われるようになってきた。この方法による量子化の考察も始められており、本研究課題との関連も深い。前述の種々の代数構造や場の理論・弦理論との関連も含め、広く情報を収集しながら研究を進める。

Report

(5 results)
  • 2018 Annual Research Report
  • 2017 Annual Research Report
  • 2016 Annual Research Report
  • 2015 Annual Research Report
  • 2014 Annual Research Report

Research Products

(49 results)

All 2018 2017 2016 2015 2014 Other

All Int'l Joint Research Journal Article Presentation Remarks Funded Workshop

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    • Author(s)
      Junchao Chen, Bao‐Feng Feng, Ken‐ichi Maruno, Yasuhiro Ohta
    • Journal Title

      Stud. Appl. Math.

      Volume: 141 Pages: 145-185

    • DOI

      10.1111/sapm.12216

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  • [Journal Article] Remarks on τ-functions for the difference Painleve; equations of type E82018

    • Author(s)
      Noumi, Masatoshi
    • Journal Title

      Adv. Stud. Pure Math.

      Volume: 76 Pages: 1-65

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      H.Nagao and Y.Yamada
    • Journal Title

      J. Phys. A

      Volume: 51

    • DOI

      10.1088/1751-8121/aaae31

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  • [Journal Article] An elliptic Garnier system from interpolation2017

    • Author(s)
      Y.Yamada
    • Journal Title

      SIGMA

      Volume: 13 Pages: 069-069

    • DOI

      10.3842/sigma.2017.069

    • NAID

      120006545129

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      Hidehito Nagao and Yasuhiko Yamada
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      Funcialaj Ekvacioj

      Volume: 印刷中

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  • [Journal Article] Geometric aspects of Painleve equations2016

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      K.Kajiwara, M.Noumi, Y.Yamada
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      J. Phys. A

      Volume: 印刷中

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      C.Ormerod, Y.Yamada,
    • Journal Title

      SIGMA

      Volume: 11

    • DOI

      10.3842/sigma.2015.056

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    • Author(s)
      Bao-Feng Feng, Ken-ichi Maruno, Yasuhiro Ohta
    • Journal Title

      J. Math. Phys.

      Volume: 56

    • DOI

      10.1063/1.4916895

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  • [Journal Article] The Pade Interpolation Method Applied to q-Painleve Equations2015

    • Author(s)
      H. Nagao
    • Journal Title

      Letters in Mathematical Physics

      Volume: 105 Pages: 503-521

    • DOI

      10.1007/s11005-015-0749-y

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      Y. Yamada
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      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      Volume: B47 Pages: 087-095

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    • Author(s)
      Y.Yamada
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      Y.Yamada
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      Y.Yamada
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      Y.Yamada
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      長尾秀人・山田泰彦
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      日本数学会無限可積分系セッション一般講
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  • [Presentation] Geometric formulation of discrete Painlev'e equations2017

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  • [Presentation] パンルヴェ方程式の幾何と対称性2017

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      山田泰彦
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      Y.Yamada
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      山田泰彦
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      Yasuhiko Yamada
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  • [Presentation] q-Garnier system and its autonomous limit2017

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      Yasuhiko Yamada
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      Workshop "Elliptic Hypergeometric Functions in Combinatorics, Integrable Systems and Physics",
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  • [Presentation] Dual Lax pairs for discrete isomondromy equations2017

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      Yasuhiko Yamad
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      長尾秀人、山田泰彦
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      長尾秀人、山田泰彦
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      日本数学会年会無限可積分系セッション一般講演
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      首都大学東京(東京都、八王子市)
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    • Place of Presentation
      一橋大学 ( 東京都、国立市 )
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      2016-01-30
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  • [Presentation] q-Garnier系とその自励化2016

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      山田泰彦
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      超幾何研究会2016
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      神戸大学 ( 兵庫県、神戸市 )
    • Year and Date
      2016-01-07
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    • Author(s)
      山田泰彦
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    • Place of Presentation
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  • [Presentation] On q-Garnier systems2016

    • Author(s)
      Yasuhiko Yamada
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    • Place of Presentation
      神戸大学(兵庫県、神戸市)
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    • Author(s)
      Yasuhiko Yamada
    • Organizer
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  • [Presentation] モノドロミー保存変形と代数曲線2015

    • Author(s)
      山田泰彦
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      琉球大数学科談話会
    • Place of Presentation
      琉球大学 ( 沖縄県、中頭郡西原町 )
    • Year and Date
      2015-11-05
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  • [Presentation] Geometric introduction to discrete Painleve equations2015

    • Author(s)
      Y.Yamada
    • Organizer
      Needs 2015
    • Place of Presentation
      Santa Margherita di Pula (Italy)
    • Year and Date
      2015-05-26
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  • [Presentation] Conserved curves for autonomous (ultra-)discrete Painleve equations2015

    • Author(s)
      Y.Yamada
    • Organizer
      The 9th IMACS Conference, Waves 2015
    • Place of Presentation
      Georgia, Athens (USA)
    • Year and Date
      2015-04-01
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  • [Presentation] SW curve and its quantization2015

    • Author(s)
      Y.Yamada
    • Organizer
      ミニワークショップ「数学・物理における可積分性の諸相」
    • Place of Presentation
      大阪市立大学
    • Year and Date
      2015-03-09
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    • Invited
  • [Presentation] Quantum curves associated with quantum Painleve equations2015

    • Author(s)
      Y.Yamada
    • Organizer
      Curves, Moduli and Integrable Systems
    • Place of Presentation
      津田塾大学
    • Year and Date
      2015-02-18
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  • [Presentation] モノドロミー保存変形の幾何学と量子化2014

    • Author(s)
      山田泰彦
    • Organizer
      大岡山談話会
    • Place of Presentation
      東京工業大学
    • Year and Date
      2014-12-03
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    • Invited
  • [Presentation] Geometry of Painleve equations2014

    • Author(s)
      Y.Yamada
    • Organizer
      Integrable Systems in Newcastle
    • Place of Presentation
      Northumbria University, 英国
    • Year and Date
      2014-09-26
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  • [Remarks] Quantum curves and q-deformed Painleve equations

    • URL

      https://arxiv.org/pdf/1710.11603.pdf

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    • URL

      http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/yamaday/index.html

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Published: 2014-04-04   Modified: 2019-12-27  

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