正則横断性と結び目

• 研究課題/領域番号: 01540003
• 研究種目: 一般研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学・幾何学
• 研究機関: 岩手大学
• 研究代表者: 石川 洋一郎 岩手大学, 人文社会科学部, 助教授 (80004000)
• 研究分担者: 三浦 康秀 岩手大学, 人文社会科学部, 助教授 (20091647) ; 島野 岳 岩手大学, 人文社会科学部, 助教授 (60004454) ; 石川 明彦 岩手大学, 人文社会科学部, 助教授 (00084377)
• 研究期間 (年度): 1989
• 研究課題ステータス: 完了 (1989年度)
• 配分額: 700千円 (直接経費: 700千円); 1989年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
• キーワード: 結び目 / 連結和 / イソトピ-

研究概要

横断正則性についての私の主要定理、即ちM^3を3次元多様体、αM'=S^Lとする。K、LをD^3の結び目、即ち、K、LはD^3の連結なし1次元部分多様体でαK、αLCαD^3とする。このとき次の定理の真為が今年の研究の1つでありました。“LをD^3の自明な結び目、このときKがD^3で自明でしるい必要十分条件は、微分可能な写像、f:D^3→D^3が存在し、HαD^3が微分同相写像で、fはLに横断正則的でf^<-1>(K)=Lを満たすこと"ある知り合いの先生にお願いして低次元多様体の専門家に見て頂いた結果、この定理が成立しない、即ち、反例があると詳しい内容の手紙を頂きました。私もようやく納得致しました。これらの研究は3次元ポアンカレ予想の肯定的解決のための研究の1つでありました。残念ながら以上の結果が得られてしまいました。しかしながら以上の貴重な事実を基礎として研究を続けました結果3次元ポアンカレ予想について次のような事実が成り立つことがわかりました。唯今かの先生に検閲して頂いておる最中であります。J.Hempelの「3次元多様体、Ann.of Math.Studiesの中に次のような基本定理があります。「M^3を3次元閉多様体としM^3に含まれる任意の単純閉曲線は必ずM^3の中の3-cellに含まれるなら、このときM^3はS^3に同相となる」この定理が手掛りとなり次のような事実が成り立ちます。M^3をαM^3=S^2である単連結な3次元多様体としてKをM^3の連結な境界をもつ一次元部分多様体でαK<αM^3とする。このときM^3はD^3と単連結な3次元閉多様体N^3との連結和となりかつK<D^3となる。M^3=D^3#N^3、K<D^3、これ以上は詳しく述べられませんが、今後これが正しいか否かをめぐって検討して行きたいと思っております。