| 研究概要 |
以下の内容においてすべてC^∞ーカテゴリ-で考察する。
1.g=sl(2,1R)の場合、gを3次元ユ-クリッド空間R^3(x,y,z)と同一視しポアソン多様体とする。g上のポアソン構造Pは、gのリ-環としての構造から自然に決まる。g上にはリ-群SL(2,R)がadjoint actionによって作用するが、このactionによるadjoint orbitsは、x^2+y^2-z^2=cで与えられる。g上のベクトル場XでPを不変にするもの、即ち、L(x)P=O(L(x)はXに関するリ-微分)をみたすX全体は、無限次元リ-環になるが、これをLを書く。Lの要素Xで各点でadjoint orbitに接するものの全体をIと書く。更にg上の関数に対応して決まるglobalハミルトンベクトル場全体をHと書く。この時、L>I>Hであるが、IはLの真部分集合であり、HもIの真部分集合となることが証明できる。(C^wーカテゴリ-では、L=I=Hである。)また、Lのadjoint表現に関する1次コホモロジ-群は、1次元と予想されれる。(次年度への課題)
2.g=so(3,R)の場合、1.と同様にL,I,Hを定義すると、これらはすべて一致することが知られている。また、Lの1次コホモロジ-群は、無限次元となることが証明できた。
3.1.においては、各orbitはnonーcompactであり、2.においては、compact且つsimply connectedである。この事実が、C^∞ーカテゴリ-における様々な差異を生みだしている。これらのことは、より一般な単純リ-群に対しても成り立つのではないかと予想される。
|
