| 研究分担者 |
北原 晴夫 金沢大学, 教養部, 教授 (60007119)
渡辺 力 金沢大学, 教養部, 教授 (50019478)
萬 伸介 金沢大学, 教養部, 助教授 (40019849)
喜多 通武 金沢大学, 教養部, 助教授 (50053707)
土谷 正明 金沢大学, 教養部, 教授 (50016101)
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| 研究概要 |
本年度、研究課題名“各種の直交関数系に関係した調和解析"で行った研究によって得られた新たな知見は次の通りである。
1.L^2_n(x)を次数α>-1をもつn次のラゲ-ル多項式とする。R^2_n(x)=L^2_n(x)/L^2_n(O)とおく、以下、ここではα【greater than or equal】-1/2とする。絶対収束する数列{an}^∞_<n=o>,Σ^∞_<n=o>|an|<∞に対して、f(x)=Σ^∞_<n=o>anR^2_n(x)とおくと、圧間(0,∞)における連続関数である。このとき次が成り立つ:この絶対収束ラゲ-ル級数f(x)は、局所的には、測度(1+|t|)^<α+1/2>dtに関する(-∞,∞)上の可積分関数h(t)のフ-リエ変換h^^〓(x)と一致とする。
2.P__-^<(α,β)>_n(x)を次数(α,β)をもつn次のヤコビ多項式とする。区間(-1,1)上の関数f(x)のヤコビ多項式展開をf(x)=Σ^∞_<n=o>f^^〓(n)fn^<(α,β)>P__-^<(α,β)>_n(x)(1-x)^<α/2>(1+x)^<β/2>とする。P^<(α,β)>_nは正規化の係数、数列φ=3φ(n)∫^∞_<n=o>によるマルチプライヤ-作用素T^<(α,β)>_φをT^<(α,β)>_φf(x)=Σ^∞_<n=o>φ(n)f^^〓(n)P^<(α,β)>_nP__-^<(α,β)>_n(x)(1-x)^<α/2>(1+x)^<β/2>と定義し、L^p(-1,1)上の作用素としてのT^<(α,β)>_φのノルムを|φ|_<(α,β),p>とおく、また、区間(0,∞)上の関数f(x)のラゲ-ル多項式展開をf(x)=Σ^∞_<n=o>f^^〜(n)τ^α_nL^α_n(x)e^<-x/2>x^<2/2>とおく。τ^α_nは正規化の係数、φによるこの場合のマルチプライヤ-作用素を〓^α_φf(x)=Σ^∞_<n=o>φ(n)f^^〜(n)τ^α_nL^α_n(x)e^<-x/2>x^<α/2>と定義し、L^p(0,∞)上の作用素としての〓^α_φのノルムを|φ|_<α,P>と書くとき、次が成り立つ:α>-1,1【less than or equal】p<∞に対して|φ|_<α,p>【less than or equal】^<lim>_<β→∞>inf|φ|_<(α,β),p>である。
3.β次のラゲ-ル多項式展開f(x)=Σ^∞_<n=o>a^β_nτ^β_nL^β_n(x)e^<-x/2>x^<β/2>を考える、ここで、a^β_n=∫^∞_of(y)τ^β_nL^β_n(y)e^<-y/z>y^<c/2>dy.この係数{a^β_n}^∞_<n=o>を2次のラゲ-ル多項式系に移植した級数Σ^∞_<n=o>a^β_nτ^α_nL^α_n(x)e^<-x/2>x^<α/2>を考える、このとき次の移植型定理が得られた:α【greater than or equal】-1/2,1【less than or equal】p<∞とする。このとき、∫^∞_o|Σ^∞_<n=o>a^β_n×τ^β_nL^β_n(x)e^<-x/2>x^<α/2>^pdx【less than or equal】C・∫^∞_o|f(x)|^pdx。ここでCはf(x)には関係しない定数である。
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