| 研究概要 |
非線型発展方程式の中で特に無限個の保存量を持つ偏微分方程式をソリトン方程式と呼ぶ、ソリトン方程式は適当な従属変数の変換により2次形式の微分方程式に変換される。この方程式のソリトン解は行列式(Gramian,Wronskian or Casorati行列式)で表現されるものとPfaffianで表現されるものとの2種類がある。それに対応して2次形式の微分方程式は行列式に対する等式(Jacobiの等式、Plucker Relation)とPfaffianに対する等式とに帰着されることが判明した。これらの数学的結果をベ-スにして数式処理ブロクグラムの開発が実行され、ソリトン方程式の解法が著しく簡明になった。これを要約すると次のような手順になる。
(1)与えられた非線型発展方程式の保存量を探す。保存量を自動的に求める数式処理のプログラムは協力者の伊藤雅明によって開発された。
(2)多数の保存量が見つかったら、従属変数の変換により微分方程式を2次形式に変換する。
(3)2次形式を摂動計算によって、2または3-ソリトン解まで求めてPhase shiftの型がDeterminant型かPfaffian型かを調べる。2次形式のソリトン解を摂動計算によって求める数式処理のプログラムが開発され、ほとんど手計算をせずに解が決定されるようになった。
(4)Phase shiftの型が決定したら、それに対応してソリトン解をDeterminantまたはPfaffianで表現する。
その結果を2次形式の微分方程式に代入して解がDeterminantまたはPfaffianの恒等式になっていることを証明し、厳密解であることを確認する。このためにWronskian,Pfaffian,Young図形等の演算を自動的に行うプログラムが作成された。
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