| 研究概要 |
1.monoid with zeroのcategoryとその対象Sの作用するSーsystemsのcategoryを考え,その中にsheaf(層)の概念を導入した。従来の環論の場合と類似にして,Sに対するpure Spectrums S_<PD>(S)を構成して,2つのsheaf representation thooremsを証明した。
2.monoid S に対し,そのright Sーsystem AをSの表現として取扱い従来のinjectiveという概念より弱いPーinjectiveなる概念を用い,次のような諸結果を得た.
(1)Sがleft cancellativeであるとき,AがPーinjectiveである必要且十分条件はAがdivisibleであること。Sが可換で,Aがright Sーcancellativeであるとき,AからAを含むdivisibleなSーsystem Q(A)が実際に構成でき,ある意味で,同型の範囲で一意的であることを示した。
(2)Sがregularであることの特性づけとして,SがPPーmonoidであること;Sのinjective hull E(S)がcompletely Pーinjectiveなこと;各Pーinjective Sーsystemがcompletely Pーinjectiveなこと;各injective Sーsystemがcompletely Pーinjectiveなことが夫々同値であることを証明した。
(3)Sがvon Neumann regularであることの特性づけとして,Sがregular且つPーinjectiveなこと;Sがcompletely Pーinjectiveなこと;が夫々同値であることを証明した。
(4)Sがright weekly regularであることの特性づけとして,Sがnormalなこと;各Sーsystemがnormalなことが夫々同値であることを証明した。
この研究はSemiring研究の出発点として,その乗法部分の研究をSとSーsystemの関係として抽像化し,考察したものである。
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