| 研究概要 |
1.全測的写像は調和的である.そこで球面からコンパクト対称空間への全測地的写像を調べた.既に行っていた構造論の開発の成果を使ったので從来知られたよりはるかに包括的な成果を組織的な方法で得た.球の次元が3以上なら調和写像は安定でない(既知).調和写像全体の各連結成分は多様体である(既知).調和写像の定義を適当に変更すれば安定になることが見込めるし,ある種の調和写像は曲小多様体として安定であることを大仁田らは研究代表者の過去のアイデアに基き表現論を使って証明したが,研究代表者の構造論を使うともっと直接的にそれを見ることができる.安定性より強く各ホモトピ-類中での最小値実現を幾何的測度論を使って結論することを試行実験中である.モジュライ空間の各連結成分の次元だけでなく位相をも調べ始めた.微分幾何的方法で結果を基本群について得ており,それをもっと広汎な場合に適用できるようにするための試みを行いつつある.関口次郎との仕事は擬リ-マン多様体の構造に関するものだが,これから一般化された調和写像を調べる方向が見えてくる.彼との仕事はアフィン対称空間をコンパクト対称空間の構造理論を使って調べる機構を明きらかにしたものである.たとえばアフィン対称空間の主要な構造がコンパクト対称空間の上のベクトル束の引き戻しであることからそのオイラ-類が基本的な不変量の一つとして浮かび上がるが,それの決定はコンパクト対称空間の部分空間のポアンカレ双対を求めることに帰着する。そのような不変量が非コンパクト半単純群の表現とどう関係するかを見定めるのは今後の課題の一つである。2.それは強擬凸曲面を含む複素曲面の研究(加藤)を活用することになる.3.また全行の諸研究の背後にある因果構造との結び付きも深く調べるべき段階に達した.
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