| 研究分担者 |
安本 太一 愛知教育大学, 教育学部・総合科学課程, 助手 (00231647)
佐々木 守寿 愛知教育大学, 教育学部・総合科学課程, 助教授 (90178666)
竹内 義浩 愛知教育大学, 教育学部・総合科学課程, 助教授 (10206956)
古川 靖邦 愛知教育大学, 教育学部・総合科学課程, 教授 (90024033)
林 誠 愛知教育大学, 教育学部・総合科学課程, 教授 (40109369)
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| 研究概要 |
Gを群とし,その降中心列をG=G_1〓G_2〓…〓G_n〓G_<n+1>〓…とする.ZGをGの整数環Z上の群環とし,Δ(G)をZGの添加イデアルとする.Δ(G)のリー積Δ^<(n)>(G)を次のように帰納的に定義する:Δ^<(Y)>(G)=Δ(G),Δ^<(n-1)>(G)が定義されているとして,Δ^<(n)>(G)=(Δ^<(n-1)>(G),Δ(G))ZGとする.ただし,(Δ^<(n-1)>(G),Δ(G))はリー積で,α5Δ^<(n-1)>(G),β5Δ(G)に対し(α,β)=αβ-βαで定義される.リー積Δ^<(n)>(G)は,次のようにGの第nリー次元部分解D_<(n)>(G)を定義する.
D_<(n)>(G)=G〓Δ_<(n)>(G)
1972年に,R.Sandlingが,1≦n≦6なるすべてのnについてD_<(n)>(G)=G_nを証明した.そして,1991年に,T.C.HurleyとS.K.Sehgalがn≧9なるすべてnについて,D_<(n)>(G)≠G_nとなる群Gが存在することを証明した.
平成3年度の本研究では,剰余群D_<(n)>(G)/G_nの指数が高さ9であることを証明した.したがって,この系として,Gがp-群で,pが奇素数ならば,D_<(7)>(G)=G_7であることが解る.
平成4,5年度の本研究において,すべての群Gについて,D_<(7)>(G)=G_7,D_<(8)>(G)=G_8を証明した.
したがって,このLie次元部分解問題は完全に解決された.つまり,すべての群Gについて,D_<(n)>(G)=G_n,1≦n≦8,そして,n≧9なるすべてのnについては,D_<(n)>(G)≠G_nとなる群Gが存在する.
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