高次元代数多様体

• 研究課題/領域番号: 04044081
• 研究種目: 国際学術研究
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 共同研究
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 森 重文 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00093328)
• 研究分担者: 早川 貴之 金沢大学, 理学部, 助手 (20198823) ; 横川 光司 大阪大学, 理学部, 助手 (40240189) ; 向井 茂 名古屋大学, 理学部, 教授 (80115641) ; 角田 秀一郎 大阪大学, 理学部, 助教授 (60144424) ; 森脇 淳 京都大学, 理学部, 助手 (70191062) ; 杉江 徹 滋賀大学, 教育学部, 助教授 (90135509) ; 丸山 正樹 京都大学, 理学部, 教授 (50025459) ; 斎藤 政彦 京都大学, 理学部, 助教授 (80183044) ; 臼井 三平 大阪大学, 教養部, 教授 (90117002) ; 今野 一宏 九州大学, 教養部, 助教授 (10186869) ; 上野 健爾 京都大学, 理学部, 教授 (40011655) ; 斎藤 盛彦 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (10186968) ; 斎藤 恭司 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20012445) ; 小林 正典 東京工業大学, 理学部, 助手 (60234845) ; 藤田 隆夫 東京工業大学, 理学部, 教授 (40092324) ; 辻 元 東京工業大学, 理学部, 助教授 (30172000) ; 宮岡 洋一 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50101077) ; 小木曽 啓示 お茶の水女子大学, 理学部, 講師 (40224133) ; 中山 昇 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (10189079) ; 川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037) ; CLEMENS Herb Univ. of Utah, 教授 ; KOLLAR Janos Univ. of Utah, 教授 ; 石田 正典 東北大学, 理学部, 助教授 (30124548) ; HERB Clemens Univ. of Utah, 教授 ; JANOS Kollar Univ. of Utah, 教授
• 研究期間 (年度): 1992 – 1993
• 研究課題ステータス: 完了 (1993年度)
• 配分額: 12,600千円 (直接経費: 12,600千円); 1993年度: 2,600千円 (直接経費: 2,600千円); 1992年度: 10,000千円 (直接経費: 10,000千円)
• キーワード: 極小モデル / フリップ / ファノ多様体 / シャファレビッチ写像 / ホッジ理論 / カラビ・ヤオ多様体 / ベクトル束 / タイヒミューラー空間 / 極小モデル理論 / 基本群 / フェルリンデ公式 / 射影空間

研究概要

まず、前年度の報告でカバー出来なかった1993年1月-3月の報告をする。石田はトーリック多様体の交叉ホモロジー群をコーンの言葉で記述することに成功した。これにより、トーリック多様体のホッジ数が対角線部分しかでない等の結果を得て、スタンレーの単体的凸多面体の面に関する議論を簡略化した。斎藤政彦は複素代数曲線上のアーベリアンスキームのネロンモデルとモ-デル・ヴェイユ群のホッジ論的研究を行なった。特にアーベル多様体の一変数退化の場合にネロンモデルの単位元の連結成分がドリーニュ、シュミットによるホッジ構造の標準的拡張によって得られる事を示した。フルトンは3月17日から10日間、当共同研究計画の援助でMSRIを訪問し、古典群のフラッグ多様体上でシューバート多様体に関する公式の発見を行なった。成果はテルアビブでのヒルツェブルフ65歳記念の研究集会の報告集に発表の予定。
94年度に入って、臼井はロ-エンハ-との議論等から刺激を受けて、ホッジ構造の分類空間の数論的群による商Xの部分コンパクト化を幾つかの場合に構成した。例えば、マンフォード等のコンパクト化の拡張としてXに境界因子を付け加えてその上に複素構造を入れることが出来た。松木は6月から1カ月間RGI(ユタ州)で行われる研究集会に出席し、RGIから招待された森とフリップの簡易化を試みた。この時の研究連絡の延長として、森は今年7月のユタ大学での研究集会でコルティと共同研究を行なう事になった。森は10月からの約2カ月のユタ訪問で3次元フリップ特異点の反典型線型系に関するリ-ド予想の証明を完結させた。これはコラール・森による規約なフリップ特異点の場合のリ-ド予想からは従わず未解決であった。
これまでの年次報告に含まれなかったものを幾つか説明しておきたい。
コラール・宮岡・森は代数多様体上の曲線の変形を用いて、川又の3次元Q-ファノ多様体の第2ベッティ数が1である場合の有界性定理を、より弱い条件下での有界性定理に拡張した。また、藤田は小平エネルギーの概念を導入した。小平エネルギーが負の場合のその有理性の議論はバティレフの議論を拡張するものであるが上記の議論に密接に関係している。小林は小平エネルギーの挙動を研究した。更に、宮岡は趙と共同で、曲線の変形手法を用いて射影空間の特徴付けを行っている。
向井による非特異3次元ファノ多様体の双正則分類は、ファノ・イスコフスキー・ショクロフの議論にあったK3曲面、ベクトル束、典型曲線等を用いてファノ多様体を直接的に構成できるという興味深いものであるが、向井はそれをゴーレンスタイン典型特異点の場合に拡張し議論も簡略化した。隅広は豊富線束に関する小平・秋月・中野の消滅定理をある種のベクトル束に拡張し、射影空間の余次元2の部分多様体への応用を得ている。今野は一般型曲面の典型写像に関するシャオの結果の精密化に成功した。又、横川は放物型ベクトル束のモジュライ多様体を研究した。角田は微分の概念の一般化と数論的多様体への応用を試みている。
当計画の目的は高次元代数多様体全般であり、前年度報告そして上述のように様々な角度から成果が上がったが、ここで端射線理論の周辺に焦点を絞って述べてみる。
コラール・宮岡・森は代数多様体を曲線の変形により理解する立場で研究してきたが、コラールはこの変形手法を基本群と結び付けシャファレビッチ写像の構成に応用し、同手法の普遍的有用性が認識された。3次元極小モデル理論については、川又の重要な豊富性定理を、松木がキ-ル・マッカネンと共同で境界つきの3次元多様体に拡張することに成功した。川又は正標数で安定型極小モデル理論を証明した。又、前述のようにリ-ド予想は森により3次元フリップ特異点については解決された。前年度の報告に述べたフリップを書き表す研究は、今年9月にリ-ドが来日し共同研究により発展させようという計画である。

研究成果

• [文献書誌] 藤田隆夫: "On Kodaira energy of polarized log varieties" preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 石田正典: "Torus embeddings and algebraic intersection complexes,II" preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 川又雄二郎: "Semistable minimal models of threefolds in positive or mixed characteristic" J.Alg.Geom.(to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Keel Sean,McKernan James,松木謙二: "Log abundance theorem for threefolds" (preprint). (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Kollar Janos,宮岡洋一,森重文: "On the boundedness of Q-Fano 3-folds" Proceedings of Symp.in alg.at Tohoku 1993. 131 (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Kollar Janos: "Shafarevich maps and automorphic forms" (preprint).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 今野一宏: "On the irregularity of special non-special surfaces" Publ.of RIMS,Kyoto Univ.(to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Lu,S.,宮岡洋一: "Boundedness of curves of given genus on a surface of general type" (in preparation).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 松木謙二: "Weyl groups and birational transformations of minimal models" AMS memoirs. (to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 宮岡洋一: "Relative deformations of morphisms and applications to fiber spaces" Comm.Math.Univ.Sancti Pauli. 42. 1-7 (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 森重文: "On 3-dimensional flips" (in preparation).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 森重文: "A canonical bundle formula" (preliminary version).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 向井茂: "Gorenstein Fano threefolds" Proceedings of Symp.of Alg.Geom.in Saitama. (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 小木曽啓示: "On algebraic fiber space structures on a Calabi-Yau 3-folds" Intern'l J.of Math.439-465 (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 斎藤恭司: "Algebraic representation of the Teichmuller spaces" Preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 斎藤政彦: "Neron models of abelian varieties and Mordell-Weil groups" Proceedings of Symp.of Alg.Geom.in Saitama. (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 斎藤政彦: "Neron models and Mordell-Weil groups of abelian schemes" Proceedings of Symp.in alg.at Tohoku 1993. 142-149 (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 隅広秀康: "A vanishing theorem for symmetric tensors of 2-bundles on P^n and its applications" Japanese J.of Math.20(to appear). (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 臼井三平: "A numerical criterion for admissibility of semi-simple elements" Tohoku Math.J.45. 471-484 (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 臼井三平: "Complex structures on partial compactifications of classifying spaces D/Γ of Hodge structures" Preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 横川光司: "Infinitesimal deformation of parabolic Higgs sheaves" Preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Fujita, Takao: "On Kodaira energy of polarized log varieties" Preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Ishida, Masanori: "Torus embeddings and algebraic intersection complexes, II" Preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Kawamata, Yujiro: "Semistable minimal models of threefold in positive or mixed characteristic" J.Alg.Geom.(to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Keel, Sean - McKernan, James - Matsuki, Kenji: "Log abundance theorem for threefold" Preprint. (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Kollar, Janos - Miyaoka, Yoichi - Mori, Shigefumi: "On the boundedness of Q-Fano 3-fold (announcement)" Proceedings of Symp. in alg. at Tohoku 1993. 131 (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Kollar, Janos: "Shafarevich maps and automorphic forms" Preprint.
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Konno, Kazuhiro: "On the irregularity of special non-special surfaces" Publ. of RIMS, Kyoto Univ.(to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Lu, S. - Miyaoka, Yoichi: "Boundedness of curves of given genus on a surface of general type" (in preparation).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Matsuki, Kenji: "Weyl groups and birational transformations of minimal models" AMS memoirs. (to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Miyaoka, Yoichi: "Relative deformations of morphisms and applications to fiber spaces" Comm. Math. Univ. Sancti Pauli. 42. 1-7 (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Mori, Shigefumi: "On 3-dimensional flips" (in preparation).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Mori, Shigefumi: "A canonical bundle formula" (preliminary version).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Mukai, Shigeru: "Gorenstein Fano threefold" Proceedings of Symp. of Alg. Geom. in Saitama. (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Oguiso, Keiji: "On algebraic fiber space structures on a Calabi-Yau 3-folds" Intern'l J. of Math.439-465 (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Saito, Kyoji: "Algebraic representation of the Teichmuller spaces" Preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Saito, Masahiko: "Neron models of abelian varieties and Mordell-Weil groups" Proceedings of Symp. of Alg. Geom. in Saitama. (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Saito, Masahiko: "Neron models and Mordell-Weil groups of abelian schemes" Proceedings of Symp. in alg. at Tohoku 1993. 142-149 (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Sumihiro, Hideyasu: "A vanishing theorem for symmetric tensors of 2-bundles on P^n and its applications" Japanese J. of Math.20(to appear). (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Usui, Sampei: "A numerical criterion for admissibility of semi-simple elements" Tohoku Math. J.45. 471-484 (1993)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Usui, Sampei: "Complex structures on partial compactifications of classifying spaces D/GAMMA of Hodge structures" Preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Yokogawa, Koji: "Infinitesimal deformation of parabolic Higgs sheaves" Preprint. (1994)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] 斎藤 恭司: "Finitely qenerated subgroups of SL_2."
• [文献書誌] 臼井 三平: "Numerical criterion for admissibility of semi-simple elements." Tohoko Math.J.
• [文献書誌] 今野 一宏: "Even canonical surfaces with small K^2." Nagoya Math.J.192. 115-146 (1993)
• [文献書誌] Janos Kollar: "shafarevich maps"
• [文献書誌] 森 重之: "Despciption of certain flips"
• [文献書誌] 川又 雄二郎: "Logarithmic deformations of normal crossing varieties and smoothing of degenerate CalabiYau varieties." (1992)
• [文献書誌] 川又 雄二郎: "Semistable minimal models of threefolds in positive or mixed characteristic." (1992)
• [文献書誌] Cho 宮岡 洋一: "A characterization of the projective space."
• [文献書誌] 宮岡 洋一: "Relative deformations of morphisms and applications." Comm.Math.Univ.Sancti Pauli. (1993)
• [文献書誌] 斎藤 恭司: "The Teichmuller space and a certain modular function from a view point of group representaion" RIMS-901. (1992)