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量子統計物理学においては、ハミルトニアンを対角化しそのスペクトラムを決定したり、相関函数を計算することが非常に要重な問題である。XXZ模型などの可積分な1+1次元量子スピン系のハミルトニアンが、Up(sl_2)等の有限次元の量子群の作用と可換であることは知られていたが、最近、この対称性の実はaffine型の量子群にまで拡大されることが明らかにされた。この無限次元の対称性により、ヒルベルト空間は実質的に有限個の既約表現に分解され、対角化の問題も発散の困難を含まずに表現論的に扱い得る対象となった。また、模型のスペクトラムや相関函数の計算も、頂点作用素(vertex operatot)の交換関係やそのN点函数といった表現論の問題に帰着させることになった。ここで必要とされる頂点作用素の交換関係やN点函数に関しても、q-差分方程式による特徴付け等の進歩があったが、実際に一般のN点函数などの計算は、自由場表示のような手段がないと大変困難である。
そこで、加藤は桑野・白石(東大理)と共同で、共形場理論における自由場表示を手がかりとし、任意のレベルにおけるaffine型量子群 【numerical formula】 の頂点作用素を自由場で表現する方法を提唱した。すなわち、自由場で 【numerical formula】 に生成子を表すと、量子群の交換関係は全差分のズレを除いて満たされるので、遮蔽演算子を併せて導入すれば、affine量子群の最高ウェイト表現をフォック空間の中に実現できる。さらに、表現のintertwinerとしての頂点演算子も自由場をexponentiateしたものとして実現できる。自由場表示の方法は、N点函数のJackson積分表示やユニバーサルR行列を規格化する因子を自然に説明し、単なる計算の便宜にとどまらず無限次元の対称性の本質を内包する枠組みであると思われる。
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