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Jonesの指数理論は因子環、部分分因子環の対に付随した細かい構造の研究を可能にした。与えられた対から様々な不変量が構成される。対の研究に表れる様々な不変量のうち最も重要な物はおそらくJonesタワーから決る(2種の)相多可換子環のタワーであろう。これらは2種類のグラフ(principalグラフ及びdual principalグラフと呼ばれる)により記述される。様々なCoxeter-Dynkinグラフが実際に表れる事が知られている。一番基本的な因子環、部分因子環の対は(有限)群、部分群から構成されるものである。つまり有限群が因子環に(外部的に)作用している時、群と部分群から生じる接合積を考える事により得られる因子環、部分因子環に対である。この様な対するprincipal及びdual princiralグラフの計算のアルゴリズムを得る事が出来た。アルゴリズムはMackey流の群、分部群の既約表現の間のinduction-restrictionグラフとして得られる。
因子環、部分因子環の対に対する(外部的な)自己同型の研究が専門家の注目を集めている。実際、III型の因子環、部分因子環の研究の為には自己同型の研究は必要不可欠である。極く自然な問題は、(例えば有限な)群Gが対M⊃Nに作用している時、接合積の対M×G⊃N×Gは元の対N⊃Nとどの位異なるかという問題である。たとえばこれら2つの対は違うグラフを持つ事があるどあろうか。この種の問題を考えるには、作用が普通の意味でより強い意味で外部的であるかどうかという川が問題となる。作用が強い意味で外部的となる為の完全なしかも使いやすい特徴付けを得る事が出来た。その証明には、(元々Quantum Field Theoryに刺激されて生まれた)sector理論及び(sectorに対する)Frobenius相互律が重要な役割を演じた。
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