| 研究概要 |
この研究は有限集合上の位相の数え上げに関連する組合せ的問題をあつかったものである。 この研究を進めるために、有限位相に対応するブール行列Kに対してある量の(K)を定義し、そのいくつかの性質を調べた。 α(K)の組合せ的意味は次の如くである。T(n+1)を有限濃度n+1の集合上の位相の数とするとき、T(n+1)=Σ__Kα(K)である。 但しKは位相に対応するn×nブール行列すべてを動く。 このαの性質に関して次が得られた。 T_1とT_2が位相同型のとき、K_1、K_2がそれぞれ、T_1とT_2にに対応するブール行列ならα(K_1)=α(K_2)である。 すなわちαを位相に対応してきまる量と考えると、αは位相不変量である。 又、α(^tK)=α(K)である。 さらにK_1とK_2がG.A.Greenの意味でD-同値なら、α(K_1)=α(K_2)である。 したがってαはD-不変量とも云えよう。
αの組合せ的性質に関しては、Kが位相に対応する単位行列I_nでないn次のブール行列ならα(K)<α(I_n)が示せる。 又、Lがchain topologyに対応するn次のブール行列で、KがT_C位相に対応するn次の行列ならα(L)≦α(K)が示せる。 したがってα(L)=n(n+5)/2+1、α(I_n)=2^<n+1>+n-1が知られるので n(n+5)/2+1≦α(K)≦2^<n+1>+n-1が得られる。 これを証明するために位相に対応する行列Kに対して、ある分配束L(K)を定義し、このL(K)の元(A,B)(C,D)及びKnによって決まる量N((A,B),(C,D),K)を導入し、N((A,B),(C,D),K)=N((C,D),(A,B),K)N((A,B),(C,D),K)=1,2or4 α(K)=Σ__<(C,D)〓L(K)>_1N((A,B),(C,D),K)等を証明した。 又 N((A,B),(C,D)K)=i(i=1,2or4)となるとき、このそれぞれの場合の必要十分条件を求めた。
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