| 研究概要 |
リーマン多様体の種々の理想境界を構成し,多様体の構造や理想境界の相互の関係を調べた.まず準線形楕円型偏微分方程式の解の空間に対応する理想境界のうちで,ロイデン境界を構成し,p-調和境界の相互の関係を明らかにした.更に非線形の場合でも倉持境界が構成されることを示し,p=2の古典的な場合と同様に倉持コンパクト化は距離付け可能であり,ロイデンコンパクト化の商空間であることを利用してディリクレ問題の意味で可解であることを示した.
また,ディリクレ関数がディリクレポテンシャルでための必要十分条件を得た.特にp=2である古典的な場合にはグリーンポテンシャルのエネルギーが有限であることで特長付けられることを得た.この結果を非線形ポテンシャアルの研究へ応用し研究を進めてゆく.これらの結果を準線形楕円型偏微分方程式の解の大域的な性質やリーマン多様体の構造の研究に応用し,理想境界の性質を利用して研究をする.今後,リーマン多様体間の擬等角写像や擬正則写像の研究に応用してゆく.また,理想境界のうちで重要であるマルティン境界を倉持境界と同様に構成してゆく.
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