フラクタルとその応用

• 研究課題/領域番号: 04640247
• 研究種目: 一般研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 数学一般
• 研究機関: 東北学院大学
• 研究代表者: 関口 健 東北学院大学, 教養学部, 教授 (30004485)
• 研究分担者: 小林 善司 東北学院大学, 教養学部, 助教授 (50205465) ; 土橋 宏康 東北学院大学, 教養学部, 助教授 (00146119) ; 上之郷 高志 東北学院大学, 教養学部, 助教授 (60124567) ; 中川 清和 東北学院大学, 教養学部, 助教授 (80128884) ; 渡利 千波 東北学院大学, 教養学部, 教授 (80004274)
• 研究期間 (年度): 1992
• 研究課題ステータス: 完了 (1992年度)
• 配分額: 2,000千円 (直接経費: 2,000千円); 1992年度: 2,000千円 (直接経費: 2,000千円)
• キーワード: fractal / binomial measure / digital sum / singular function / Takagi function

研究概要

この研究は、二項測度(binomial mesure)のパラメータによる高階の微分および差分方程式系に関する代表者関口健と塩田安信の共同研究を基に、フラクタル(特にマルチフラクタル)を数学的に厳密に調べ、さらに他分野へ応用を目指して開始された。各分担者はそれぞれの専門に関連する部分の研究をすすめ、代表者がそれを総括するとともに設備費で購入したコンピュータを用いてシミュレーション等もおこなうことで実行した。また、分担者以外の研究者特に塩田安信(秋田大学)岡田達也(福島県立医大)の協力があったことを付け加えておく。
以下、標記の研究課題について、補助金を受けた期間中に得られた成果を報告する。
1.マルチフラクタルスペクトラムが測度の特性量として意味があるかどうか、多項測度(multinomial measure)の場合に考察し、マルチフラクタルスペクトラムにより特徴づけられる多項測度のクラスを決定した。
2.ディジタル和(digital sum)の巾乗和(power sum)の表現に高木関数等の至る所微分不可能な連続関数が現れる(Trollope,Choquet等の結果)のは、フラクタルの観点から非常に興味深いものである。我々はこの本質的な部分が二項測度とそのパラメータによる微分により得られる関数であることを発見した。
3.二項測度とそのパラメータによる微分はディジタル和の指数和(exponential sum)を調べるとき、その役割は更に顕著になる。この手法で未解決であった指数和の誤差関数とその上限・下限を厳密に求めた。
4.2.3.の結果は多項測度についてもパラレルに議論できると思われるが、これについては現在の作業中である。
上記の1.3.4の結果については投稿の準備中であるが、2.の結果はJournal of Number Theoryに投稿した。