非線型偏微分方程式と調和解析の緒問題の研究

• 研究課題/領域番号: 04F04302
• 研究種目: 特別研究員奨励費
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 外国
• 研究分野: 基礎解析学
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 小澤 徹 北海道大学, 大学院理学研究院, 教授
• 研究分担者: CHO Yonggeun 北海道大学, 大学院理学研究院, 外国人特別研究員
• 研究期間 (年度): 2004 – 2006
• 研究課題ステータス: 完了 (2006年度)
• 配分額: 2,300千円 (直接経費: 2,300千円); 2006年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 2005年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 2004年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
• キーワード: 非線型分散方程式 / 調和解析 / ブシネスク系 / 振動積分 / 大域解 / 非線型偏微分方程式 / 分散型方程式 / 流体の方程式 / 極大函数 / Strichartz評価

研究概要

本年度はブシネスク系の初期値問題を中心に、関連する調和解析学上の問題と非線型偏微分方程式の問題を研究した。
まず、p乗冪の自己相互作用を持った一般化ブシネスク方程式の小振幅解の時間大域的存在について、従来の条件p>8を新しい条件p>9/2に大幅に改良する事が出来た。同時に、非自明な漸近自由解の非存在をp【less than or equal】2の場合に証明した。存在と非存在の間には9/2から2までのギャップが横たわっており、非線型シュレディンガー方程式やKdV方程式の研究からの類推によれば、p=3が最終的な分岐点であろうと予想されるが、最終的な解決にはもう少し時間が必要となるだろう。
次に、p乗冪の自己相互作用下での一般化ブシネスク方程式と改良ブシネスク方程式を一般空間次元nで考えた場合、nとpとの関係について小振幅大域解の長時間的挙動の立場から比較して論じた。主な視点は、対応する線型偏微分作用素の成す特性多様体の幾何学的特性が、基本解の長時間挙動に及ぼす影響を精密に評価する点にある。その際、重要になるのが停留位相の方法に代表される、振動積分の調和解析的取扱いであり、一般化ブシネスクと改良ブシネスクの幾何が解析にどの様に反映するのか、調和解析的枠組から統一的に解釈する方法を明らかにする事が出来た。また、改良ブシネスクとシュレディンガーの相互作用系について、解の大域的存在と爆発条件を、空間4次元以下で詳細な結果を導く事が出来た。その際、オイラー方程式やナビエ・ストークス方程式の方法論を参考にしたが、その分野の手法を分散系に導入するための一般論が或る程度確立されたと考えられる。

研究成果

• [雑誌論文] Blow-up of viscous heat-conducting compressible flows (2006)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Journal of Mathematical Analysis and Applications 320 ページ: 819-826
  • NAID: 120000963349
• [雑誌論文] On classical solutions of the compressible Navier-Stokes equations with nonnegative initial densities. (2006)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Manuscripta Mathematica 120 ページ: 91-129
  • NAID: 120000954460
• [雑誌論文] Remarks on modified improved Boussinesq equations in one space dimension (2006)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Proceedings of the Royal Society A 462 ページ: 1949-1963
  • NAID: 120006459431
• [雑誌論文] Global existence on nonlinear Schrodinger-IMBQ equations (2006)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Journal of Mathematics of Kyoto University (印刷中)
• [雑誌論文] On the semi-relativistic Hartree type equation (2006)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: SIAM Journal of Mathematical Analysis (印刷中)
  • NAID: 120006459478
• [雑誌論文] A maximal inequality associated to Schrodinger type equation (2006)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Hokkaido Mathematical Journal (印刷中)
• [雑誌論文] Blow-up of the viscous heat-conducting compressible flow (2006)
  • 著者名/発表者名: Cho Yonggeun
  • 雑誌名: Journal of Mathematical Analysis and Applications (to appear)
  • NAID: 120000963349
• [雑誌論文] A maximal inequality associated to Schrodinger Type equation (2006)
  • 著者名/発表者名: Cho Yonggeun
  • 雑誌名: Hokkaido Mathematical Journal (to appear)
• [雑誌論文] Remarks on modified improved Boussinesq equations In one space (2006)
  • 著者名/発表者名: Cho Yonggeun
  • 雑誌名: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (to appear)
• [雑誌論文] On a decay property of solutions to the Haraux-Weissler equation (2006)
  • 著者名/発表者名: Tohru Ozawa
  • 雑誌名: Journal of Differential Equations 221 ページ: 134-142
• [雑誌論文] Lorentz space extension of Strichartz estimates (2005)
  • 著者名/発表者名: Cho Yonggeun
  • 雑誌名: Proceedings of the American Mathematical Society 133 ページ: 3497-3503
• [雑誌論文] Analytic smoothing effect for solutions to Schrodinger equations with nonlinearity of integral type (2005)
  • 著者名/発表者名: Tohru Ozawa
  • 雑誌名: Osaka Journal of Mathematics 42 ページ: 737-750
• [雑誌論文] Sharp L^p-L^q estimates for Bochner-Riesz operators of negative index in R^n, n【greater than or equal】3 (2005)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Journal of Functional Analysis 218 ページ: 150-167
• [雑誌論文] Lorentz space extension of Strichartz estimates (2005)
  • 著者名/発表者名: C.Ahn
  • 雑誌名: Proceedings of American Mathematical society (印刷中)
• [雑誌論文] A maximal inequality for filtration on some function spaces (2004)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Osaka Journal of Mathematics 41 ページ: 267-276
  • NAID: 120005986937
• [雑誌論文] Unique solvability of the initial boundary value problems for compressible viscous fluids (2004)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Journal Mathematiques Pures et Appliques 83 ページ: 243-275
• [雑誌論文] Unique solvability for the density-dependent Navier-Stokes equations (2004)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Nonlinear Analysis 59 ページ: 465-489
• [雑誌論文] Weighted L^2 estimates for maximal operators associated to dispersive equations (2004)
  • 著者名/発表者名: Y.Cho
  • 雑誌名: Illinois Journal of Mathematics 48 ページ: 1081-1092