| 研究課題/領域番号 |
04J05193
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
山内 卓也 広島大学, 大学院・理学研究科, 特別研究員(DC2)
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| 研究期間 (年度) |
2005
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| 研究課題ステータス |
完了 (2005年度)
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| 配分額 *注記 |
1,900千円 (直接経費: 1,900千円)
2005年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2004年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
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| キーワード | Q-曲線 / アーベル多様体 / モチーフ / 保型形式 / モジュラー曲線 / ヤコビ多様体 |
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| 研究概要 |
Q-曲線のモジュラー性の研究に触発され、Q-曲線の数論的性質を深く解析した.その結果、Q-曲線の捩れ点の成す群の位数に現れる素因子をほぼ完全できた(西来路氏(広島国際大学)との共同研究).西来路氏にはガロア表現などの数論的部分を担当して頂き、申請者はモジュラー曲線などの幾何的な部分を担当した.
一方で、応用分野へのアプローチとして暗号理論への寄与を考えてきた.
その結果、有理数体上の主偏極アーベル曲面Aを法p還元することにより得られF_p有理点のなす群が巡回群となるような素数pの密度(確率)をAから決まる不変量で具体的に記述した[6].また、数値実験を行い上記の密度(確率)を具体的に計算し、理論値との比較を行った.一般に、有理数体上の主偏極アーベル曲面Aを良い素数pで還元すると5から6割に近い確率でA(F_p)は巡回群になるということが実験結果から推測することができた.
続いて、Q-曲線の概念を絶対ホッジサイクルを用いたモチーフに対して拡張し、そのようなモチーフ(以下、Q-モチーフと呼ぶ.)の性質を深く解明した.
先ず、有理数体上定義されたGL_2型モチーフの概念導入し、Q-モチーフはGL_2型モチーフの因子として現れることを示した.逆に、GL_2型モチーフの因子はQ-モチーフであることも証明された.続いて、モチーフに対する標準的な予想とセールの予想を仮定することで、GL_2型モチーフMはモジュラーである、即ち、ある楕円保型形式fが存在してMとモジュラーモチーフM_fは同種であることが証明された.これは谷山-志村予想のモチーフに対する一般化となっていて、この研究はその一般化された予想の傍証となっている.
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