| 研究概要 |
曲面Σと直線Rの積空間Σ×R内のlinks Lに対し,射影P:Σ×R→ΣとReidemeister movesを用いてKauffmanブラケットのideaに基づき,アイソトピー不変量<L)_<-1>(但し,A=-1)とその精密化であるJones type不変量F_L(A)(但し,Σは向き付け可能)を定義し,交付申請書の研究目的・実施計画に沿って以下の成果を得た。
1.Σ=P^2(射影平面)の場合。Lの成分数をkとすると,<L)_<-1>の値は(1)〔L〕〓0 in H_1(Σ×R,Z_2)のとき(-2)^<k-1>,(2)〔L〕〓0のとき(-2)^<k-1><K)(但し,KはP^2内のnon trivial knot)。これは古典的link theory(即ち,R^3におけるlink theory)のJones多項式に関する類似結果と言えるが,理論的にはx+y<K)(x,y〓Z)の形を取り得るにもかかわらず,実際はx≠0かつy≠0の形は生じない点は意外であった。
2.Σ=T^2(トーラス)の場合。レンズ空間の種数1のHeegaard diagramsに関連する2-成分のlinks Lについて,F_L(A)を具体例について計算し,それらの間に成り立つ一般的関係を得た。応用として,レンズ空間全体のclassにおける位相的不変量を得た。
以上は研究目的(1),(3)に関する成果であり,上記2で用いた手法は研究目的(2)と関連する。(詳細については井上芳里氏との共著のpreprint(投稿中)がある。)
3.上記2での手法を用いて研究目的(2)とはやや異なるがΣ上のmapping classesを利用してlinks Lのup to homeomorphism(≠up to isotopy)不変量が得られつつある。
今後の展開として,Σが向き付け可能で種数2(以上)の場合について,研究代表者の主目標である研究目的(3)の本格的な進展を,上記の成果(特に2,3)を踏えた方向で図りたい。
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