| 研究概要 |
研究の主題は,古典的不変式論で枢要を占めてきたCapelli恒等式の量子群対応物とDual Pairの量子群理論を構築することである.そのために成さねばならない最初のことは,量子座標環における座標に関する微分の自然な定義を与えることであった.手始めにそれをGL_q(2)という特別な場合日比氏との共同で試みたこれは実験的な結果ではあったが,そのアイデアは野海,梅田氏との共同研究で生かされた.すなわちそこでは,量子行列環Mat_q(n)上の定数係数微分作用素を量子群GL_q(n)の両側からの自然な作用のみならず,それ自身の左右からのかけ算作用素とも整合的であるように偏極作用素を通して定義し,然るべき性質を持つことを示した.さらにそこでは量子R行列でコントロールされたYang-Baxter方程式による定式化と枠組みを生かし,不変微分作用素の量子包絡環の中心による記述という観点から量子群版Capelli恒等式を得た.
更なる研究により量子群版球面調和函数の理論を作り,それを通じてもっとも基本的ではあるが典型的なDual Pair(sl_2,o_n)の量子群対応物と付随するCapelli恒等式を証明することに成功した.より最近では梅田氏と共に,先の定数係数微分作用素がq差分作用素の編み上げで得られる様子を解明した.これによって矩系行列に対応する量子空間上でも座標に関する微分が自然に理解できるようになり,応用としてシンプレクティクリー環のq類似であるU_q(sp_<2m>)のq振動表現を定式化する事もできた.これは他にもGelfandの一般化されたグラスマン多様対上の超幾何函数の理論の量子群理論の構成にも応用が見込まれるものである.
また(量子化された)パフィアンについての重みつき和公式を石川氏と共に得たが,これは表現の指標の様々な母函数公式や,先のCapelli恒等式,Dual Pairの理論とも深く関連している.
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