| 研究課題/領域番号 |
05452010
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| 研究種目 |
一般研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 研究分野 |
解析学
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
大島 利雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50011721)
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| 研究分担者 |
長田 博文 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (20177207)
片岡 清臣 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (60107688)
楠岡 成雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (00114463)
川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037)
小松 彦三郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40011473)
坪井 俊 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40114566)
小谷 真一 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10025463)
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| 研究期間 (年度) |
1993 – 1994
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| 研究課題ステータス |
完了 (1994年度)
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| 配分額 *注記 |
5,000千円 (直接経費: 5,000千円)
1994年度: 2,100千円 (直接経費: 2,100千円)
1993年度: 2,900千円 (直接経費: 2,900千円)
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| キーワード | 完全積分可能系 / 不変微分作用素 / 超幾何関数 / 球関数 / ユニタリ表現 / 半単純リー群 / 対称空間 / 球函数 / 超幾何微分方程式 / 表現論 |
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| 研究概要 |
球関数は、表現の指標を一般化した重要な関数であるが、その動径成分は対称群を一般化したWeyl群による不変性を持つホロノミックな微分方程式系を満たすことで特徴づけられる。この微分方程式系のもつルートの重複度に対応した離散的なパラメータはHeckman-Opdamによって連続化がなされた。
一方、知られている完全積分可能量子系はWeyl群ないしはCoxter群による対称性を持っているか、あるいはそれの特殊化のみであり、Heckman-Opdamの微分方程式系は、三角関数ポテンシャルの完全積分可能量子系と見なせる。
研究代表者を中心とする本研究では、古典型Weyl群で不変な完全積分可能量子系を一般的に全て求めよう、という一見手がつきそうにない問題に着目し、最終的にはコンピュータの助けも借りて、その完全な分類に成功した。すなわち、ポテンシャル関数は、必ず楕円関数、あるいはそれが退化した三角関数か有理関数で表せることを示し、具体型を決定した。
さらに、高次の積分の具体型を求めることにより完全積分可能性を証明した。楕円型ポテンシャルの場合は、完全積分可能性は予想されていたが、本研究でその予想が証明された。なお、その後Cherednikにより、ルート型から作られる場合には完全積分可能性については別証明が与えられた。
この完全積分可能量子系は1変数の場合のHuenの超幾何微分方程式系の多変数への拡張と見なすことができる。全体の枠組みが定まったとことになるので、今後は、この超幾何微分方程式の解の性質の研究、特に表現論など他の分野との関連で特殊な良いパラメータを見つけ、そのときの解を深く研究することが、本研究を発展させていく上での次の目標となった。
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