| 研究概要 |
1.計算機(Macintosh)により,様々なCM型(特にフェルマー型のもの)について数式処理計算を行った。その結果得られた単純な退化CM型の様々な例において,今までに知られていない新しい退化のパターンを発見した。これは,部分体のCM型を「ひねって」退化CM型および例外的ホッジサイクルを構成するという,報告者による従来の方法をさらに一般化する可能性を示唆している。証明は,今のところアーベルなCM体についてしか出来ていないが,一般の場合もさほど困難ではないと思われる。
2.素数分体の場合に,フェルマー型のアーベル多様体上のホッジサイクルから生じるガウス和の間の関係について,ガウス和の間の関係についての既知の理論から逆にホッジサイクルの間の関係を導くことが出来た。また,ガウス和の理論を用いない初等的な証明を見い出し,フェルマー型のアーベル多様体上のホッジサイクルの特徴づけを得た。
3.退化CM型を持つアーベル多様体のモジュライの体の大きさについては,従来散発的な例が知られていただけであるが,部分CM体のイデアル類群を持ち上げることによって,例外的ホッジサイクルの存在がモジュライの体の大きさに影響を与えることを,ある程度理論的に説明することが出来た。
4.今後の課題としては,一般の円分体に於けるホッジサイクルとガウス和の間の関係を追求すること,さらにホッジサイクルの整数論的な意味を明らかにすることを考えている。
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