| 研究概要 |
無限体積の双曲的3次元多様体のエンドの研究を通して,3次元有界コホモロジーに関連した結果が得られた.
まず,ある双曲的3次元多様体を利用することによって,3次元有界コホモロジーH^3_b(Z*Z;R)上に自然に定義される擬ノルムがノルムにはなり得ないことを示した.また,この結果より,全射準同型f:G→Z*Zを持つような任意の群Gに対しても,H^3_b(G;R)上の擬ノルムがノルムではないことを示した.
次に無限体積の双曲的3次元多様体に関する剛体性定理を与えた.Σ_gを向き付け可能な閉曲面でその種数はg>1であるとする.このとき,Σ_gとホモトピー同値な完備双曲的3次元多様体Mは無限体積になる.ここでは,Mが幾何的有限なエンドを持たない場合を考える.すなわち,Mは2重退化している双曲的多様体とする.もし,このときMの単射半径の下限inj(M)が正であるならば,Y.Minskyの剛体性定理より,その幾何的構造はエンディング・ラミネーションのみによって決まる.研究代表者は,単射半径の下限が正である2つの双曲的多様体M,M'が与えられたとき,そのエンディング・ラミネーションが一致する為の必要十分条件を3次元有界コホモロジーH^3_b(Σ_g;R)の元として定義されるM,M'の基本類[ωM],[ωM']を使って与えた.MがM'と等長的であるときは当然[ωM]=[ωM']が成り立つが,研究代表者はより緩い形で表現できる必要十分条件を得た.
さらに,R.Canaryの被覆定理を利用して,位相的に順なクライン群Гが幾何的に有限であるための必要十分条件が,その有界コホモロジーの基本類が零であることを示した.また、その応用として,全射準同型写像f:G→Z*Zを持つような任意の群Gに対して,H^3_b(G;R)が連続濃度次元であることが証明できた.
|
