| 研究概要 |
AをL^∞(mu)におけるW^☆-Dirichlet環とする。Hardy空間H^D,1【less than or equal】P【less than or equal】∞,をAのL^D(mu)における閉包と定義し、H^P_O(mu)はf【reverse surface chemistry arrow】H^D(mu)でf^^<^>(mu)=0となるもの全体のなす不変部分空間とする。このときH^P_O(mu)は単一生成元を持ち得るか?即ちg【reverse surface chemistry arrow】H^P_O(mu)でA・gがH^P_O(mu)で稠密となる凾数gが存在し得るか?というのが単一生成元問題である。この問題は、解析的概周期関数の無限遠点近くでの零点の分布状況の検証に端を発し、50年代に可換コンパクト群上でHelson-Lowdeuslangerによってこの形に形式化された。
この問題について、流れから導入されるW^☆-Dirichlet環のある族において、H^P_O(mu)は単一生成元を持ち得る。即ち単一生成元問題は背定的である。(W^☆-Dirichlet環の枠内では)との結論を得た。またこの結果からH^1_O(mu)の単位球が端点を持ち得ることが従い、60年代後半にT.Gamelinによって提出された問題も背定される。これらの内容は「Single geveratorproblem」というタイトルで論文にまとめられ現在投稿審査中である。
これからの課題は、可換コンパクト群上のHardy空間H^P(sigma)で成立するかどうかの検証である。多分背定的とは思うが、不変部分空間論の諸結果と考えあわせるといくつかの難点がうかがわれる。そしてRiewarw仮説との関連からこの方向は極めて意味のあることと思う。
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