| 研究概要 |
有限集合の確率的分割としてクラスタリング過程が自然であり、諸種の現象に登場することを確かめできた。集合の要素を無視すると、これは自然数nの確率的な分割となり、順序を考慮するとDTG分布(Donnelly‐Tavari‐Griffiths)、順序を無視するとEwens分布となる。
(1)Ewens分布でjの数をS_jとする(SIGMA〓〓jS_j=n)。(S_1…,S_m)はn→∞のとき、平均(alpha/1,alpha/2,…,alpha/m)の独立なポアンツ分部に確率収束するAnm Jast Stat Math.
nの分割をnで割った比率を考え、n→∞とすると(0,1)の可算無限個の〓間への確率分割が得られる。あるいは無限次元単体DELTA={(X_n)〓〓,X_n≧0 ZX_n=1}上の確率ベクトルが得られる。DTG分布の比率の極限はGEM分布(Griffiths‐Engen‐McClorky)と呼ばれている。
(2)GTM分布からの標本の分布はDTG分布またはEwens分布である。逆に標本分布がこれらの分布となるのはGEM分布に限る。証明はクラスタリング過程の特性より得られる。
(3)集合の確率分割、DTG分布、Ewens分布を、できるだけ少い件で特徴づける試みを行い今までの結果を改善した。それより、これらの分布は頑健である。つまり、クラスタリング過程より広いモデルより導く可能性がある。
(4)クラスタリング過程の一時点でいくつかの〓をランダムに選び、過程を逆時間向きにたどると、系統樹を逆向きに構成する確率過程、the coalescent,が得られるcoalescentの確率的構造も、クラスタリングの議論から組合せ論的に明確化できるという予想で研究中である。
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