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p進保型形式に関するAtkinの予想は、一般的性質の期待できない重さ0の保型形式であるmodular不変量に関してもp進的に見ればHecke作用素の同時固有関数とみなせるという著しい予想であるが、この現象をとらえる範疇としては、種数0の数論的不連続群に関する一般化されたmodular不変量の無限遠点でのフーリエ展開の係数に関する同様な予想にまで拡張して考えるのが適切で、これはmoonshineと呼ばれるConway-Nortonらの一連の予想と関連があることがわかってきた。特にReplication formulaと呼ばれる一連の予想は証明の本質的部分に関わって現れる。p=13の場合は小池先生の論文で解決し、その方法を拡張してやることでp=2の場合は筆者の論文によって解決した。今年度は科研費補助金により小池先生との情報交換も含め多くの方との論議を行うことができ、p=3の場合は、0.Kolbergの結果を用いる事でp=2の場合とほぼ同様の結果を得ることができた。(発表予定)また他の素数進法の場合にはどのようになっているのかを調べるには、肥田先生のp進保型形式とp進Hecke作用素の理論が役立つものと思われる。この理論の大切な部分にHecke作用素のordinary partという考え方があり、これはおそらくAtkin予想の一般的解決にも役立つものと思われる。これについては引き続き研究を継続する。
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