| 研究概要 |
数論において、ゼータ函数とそのEuler積,函数等式は、その研究において、最も重要なものである。しかし、Euler積の理論,計算は、非常に煩雑で、その本質が分りにくいものであった。
本研究では、テ-タ級数等のDirichlet級数に対して、そのメカニズムを解明し、Euler積や、函数等式を、新しい方法で証明することを目的とした。そのため、ヘッケ作用素に関していくつかの計算公式を導いた。
つぎに、その研究過程で、ある種の概均質ベクトル空間のゼータ函数の函数等式について研究する必要が生じた。その結果、J.Igusa,F.Sato等によって作られた、P-進体上の概均質ベクトル空間の理論は、その軌道の数の有限性を仮定しており、残念ながら、我々の問題には、そのままでは適用出来ないことが示された。
そこで我々は、このP-進体上の概均質ベクトル空間の理論を整備し、我々の問題に適用可能な形にすることを最初の目標とした。その結果、概均質ベクトル空間における最も基本的な変換であるうら返し変換によって写される概均質ベクトル空間に対し、その一方の函数等式が言えれば他方も言えることが証明された。
このこととT.kimuraによって完成された既約概均質ベクトル空間の分類を用いることにより、既約な概均質ベクトル空間のゼータ函数は、十分大きな体上で函数等式を持つことおよび、無限に多くの概均質ベクトル空間に対して、それに付随するゼータ函数が、函数等式を持つことが示された。
今後の課題としては、上に得られた結果と概均質ベクトル空間のゼータ函数の理論をもう少し整備し、テ-タ級数等から作られるDirichlet級数の函数等式やEuler積の理論に適用していくことになる。
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