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代数多様体が非特異トーリック曲面を含み、しかもその法束が豊富であって、かつ、その法束がある種の分裂条件を満たすならば、この代数多様体は単有理的になることが、研究代表者によってすでに示されている。証明の手法は、代数多様体内にある非特異有理曲線の近傍を精密に調べることによっている。非特異曲線の形式的近傍の貼りあわせ関数にあらわれる係数によって作られる半群の形によって、代数多様体の単有理性が示されるという鍵となる補題を用意したが、この補題は、単有理性を示すための一つの十分条件にすぎない。トーリック曲面の法束が、豊富であって、しかし、それほど強い分裂条件を満たさない時、(それは、今年度の研究によって、トーリック曲面が、部分多様体として、形式的に完全交叉でない時に対応することが明らかになった)先に用意した補題のみによっては結果は得られない。そこで、まず、具体的なトーリック曲面と、具体的なベクトル束を用意して、そのベクトル束が法束となるような高次元代数多様体が単有理的であるかどうかを調べている。その際、有理曲線の形式的近傍を、より精密に調べる必要がある。先の補題をより精密なものに一般化することにより、結果を精密化することは可能であると考えられ、徐々に結果は出てきている。法束が強い分裂条件を満たさない場合、以前とは本質的に異なった形式的近傍が現れることが明らかになりつつある。すなわち、より種数の高い曲線の形式的近傍によって支配される、有理曲線の形式的近傍が現れてくる。
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