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ユークリッド空間上の凸関数は殆ど致る所で2階微分構造を持つことが古くから知られている。このような関数のグラフに内部距離を入れたものは下から曲率の押えられたアレクサンドロフ空間の一つである。このことからアレクサンドロフ空間上にもある種の2階微分構造が存在することが予想されていた。この予想について次のように解決した。今まで示していたアレクサンドロフ空間上の1階微分構造(ae)を使い、ヤコビー場にあたるものを構成し、その性質を詳しく調べることで、距離関数の殆ど致る所での2階微分可能性を示した。これにより殆ど致る所での2階微分構造を自然に構成できる。
次にこのとき使った手法を上から曲率が押えられたアレクサンドロフ空間の場に適用することを試み同様の結果を得ることができた。この場合当初予想してたより深い構造:ある種の断面曲率や接続にあたるものの存在まで示すことができた。
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