| 研究概要 |
向きのついた滑らかな単連結閉4次元多様体で、交叉形式が負定値であるものをXとし、有限群Gが、向きを保って滑らかに作用しているとする。このとき、この作用はX上のp_1=-4のSO_6束Pのヤン-ミルズ接続のモジュライ空間Mへの作用を自然に誘導する。しかも、XはMのエンドとして実現され、G作用も一致する。GのXへの作用の不動点集合X^Gが空でないとき、M^GにもX^Gに対応する元がある。その1つの元を代表するヤン-ミルズ接続Aをとると、Aを固定するという条件の下に、GのXへの作用は、束Pへ持ち上がる。この作用つき未を(P,A,G)と書くことにする。(P.A.G)はP上のヤンミルズ接続全体の集合Aに作用を引き起こす。その不動元集合のモジュライをM_Aと書くことにする。今、X^Gに正の次元を持つ連結成分Fがあるとする。Fの2点x,yをとりM^Gにおいてx,yに対応する点の代表元をそれぞれA,Bとする。このときM_A=I_Bとなることから(P,A,G)から(P,B,G)への同変束同型PSIが存在するが、PSIは連続ではあるが滑らかさについては知られていなかった。さて、私は、AをC^∞-ヤン-ミルズ接続とするとM_Aの任意の元が、C^∞の接続を含むことを示した。これにより、PSIはC^∞‐級の写像となり、滑らかな同変理論を応用して(P,A,G)を調べることが可能となり、X^Gの情報を得られると期待される。
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